Capitulo 3: Introdução a geodésia e cartografia¶
Serão abordados neste capítulo os conceitos básicos da geodésia como: forma e dimensão da terra; modelos matemáticos que se aproximam da forma da terra (elipsóide); o sistema de referência geodésico adotado pelo Brasil. Quanto a cartografia, será definida o que é uma projeção cartográfica mostrando alguns exemplos, como o sistema projeção e coordenadas UTM, que é uma das projeções mais utilizada no Brasil.
Geóide¶
A terra vista do espaço se aproxima de uma esfera. Todavia, quanto mais nos aproximamos dela, mais ela se torna desuniforme, sendo formada na sua superfície, pelos continentes e mares. Nos continentes tem-se diferentes formas de relevo, das mais planos aos mais acidentados. Observa-se também que a superfície da terra não é estática, mas sim dinâmica. Há um movimento da crosta terrestre, devido às forças tectônicas. Por exemplo, no terremoto no Chile no ano de 2010, foi estimada que a cidade de Conception moveu \(3,02\) metros para a direção oeste [Wir12]. Já os mares apresentam-se em constante movimento, pois são sujeitos a diversas forças, como: a centrífuga, devido a rotação da terra; a gravitacional da terra, lua, sol; dos ventos, etc.
A geodésia é a ciência que tem como objetivo estudar a forma da terra, sendo esta forma denominada de geóide. O geóide consiste na superfície equipotencial do campo gravitacional da terra que melhor se ajusta ao nível médio dos mares (NMM) e seu prolongamento sobre os continente. Para a definição do NMM, são desconsideradas as forças do vento e as gravitacionais da lua, sol, etc. Desta forma, NMM de um longo período, estará sujeito apenas as forças exercidas pela massa e pelo movimento de rotação da terra, respectivamente, os potenciais gravitacional e centrífugo da terra. A soma dos potenciais gravitacional e centrífugo da terra resultam na atração que sentimos sobre a terra, sendo que a direção desta força é denominada de vertical do lugar, sendo ele único em cada posição do Geóide. A vertical do lugar pode ser obtida por um fio de prumo (edaço de linha ou náilon com um peso em uma extremidade). Nos equipamentos topográficos como o teodolito, a estação total, e o dos receptores GNSS, um dos seus eixos conterá a vertical do lugar, ou seja, estarão perpendiculares à superfície de nível local.
Do que foi dito acima, como a densidade da massa da terra é variável espacialmente, o geóide resulta em uma forma ondulada. Uma forma de apresentar o geóide é por meio da ondulação geoidal \((N)\). Na Figura ao lado é apresentado a ondulação geoidal da terra dado pelo EGM96 (Earth Gravitational Model 1996 [1] [LKF+98]. A ondulação geoidal apresenta a distância vertical entre o geóide e o elipsóide (ver seção Nivelamento GNSS, Relação entre altura ortométrica (H), altura geométrica (h) e ondulação geoidal (N) em (a). Ondulação geoidal segundo EGM96 lemoine1998development, tendo h em relação ao WGS84 (b).), figura matemática que se aproxima a forma da terra, neste caso o WGS84. Valores positivos indicam que o geóide está acima do elipóide WGS84, e negativos, abaixo. Percebe-se que a variação da altura geoidal é de \(-107\,\text{m}\) a \(85\,\text{m}\), ou seja, algumas áreas estão mais próximas do centro do elipsóide e outras mais distantes, o que resulta numa forma ondulada. Vale salientar ainda que, além do geóide ser ondulado, ele é achatado na direção dos polos. A medida do raio da terra no equador é aproximadamente \(21\,\text{km}\) maior que o raio na linha que contém o eixo de rotação da terra.
Verificando diferentes modelos de Geóide.
Consultar: http://icgem.gfz-potsdam.de/vis3d/longtime
Elipsóide¶
O que os cientistas fazem então para realizar mapeamentos, definir fronteiras etc, uma vez que a forma da terra tem a forma irregular? Fazem uma aproximação do geóide à figura matemática denominada de elipsóide de revolução, ou simplesmente elipsóide. O elipsóide nada mais é que uma elipse rotacionando em torno de um eixo (Figura 17). O maior semieixo do elipsóide é denominado por \(a\), e o menor por \(b\). Geralmente, na definição dos parâmetros do elipsóide, ao invés de apresentar os dois raios, são apresentados, o raio do semieixo \(a\) e o achatamento, \(f\), definido pela Equação (22). O parâmetro \(f\) é preferível pois é utilizado nas equações para cálculo das, coordenadas sobre o elipsóide e das projeções cartográficas. Nota-se que, se tivermos quaisquer dois parâmetros do elipsóide, o terceiro poderá ser calculado por meio da Equação (22). Observando esta Equação, se a terra tivesse a forma de uma esferoide, isto é \(a=b\), \(f\) seria zero, não teria achatamento. Como a terra é achatada nos polos, \(a>b\), \(f\) será sempre maior que zero e menor que um. Caso trabalhando em pequenas escalas, pode-se considerar a terra um esferoide \(a=b\) ou \(f=0\).
Figura 17 Apresentação de uma elipse e um elipsóide de revolução.¶
Exemplo 1 O elipsóide de referência utilizado pelo sistema norte-americano de posicionamento por satélite, o GPS, é denominado de WGS84, tendo como raios dos semieixos: \(a=6.378.137,0\,\text{m}\) e \(b=6.356.752,31424\,\text{m}\). Calcule o achatamento deste elipsóide.
Solução: Por meio da Equação (22), tem-se:
Então, \(f=0,003\,3528\,106\,647=\frac{1}{298,257\,223\,563}\), sendo a segunda forma, \(f=\frac{1}{298,257}\), com arredondamento, a mais utilizada.
Para a definição precisa do elipsóide, deve-se também considerar a constante gravitacional (GM, Earth’s Gravitational Constant) e a velocidade angular de rotação da terra \((\omega)\). Por exemplo, para o WGS84, \(GM=3.986.004,418\pm0,008\cdot 10^8\,\text{m}^3\,\text{s}^{-2}\) e \(\omega=7292115\cdot10^{-11}\, \text{rad}\,\text{s}^{-1}\) [NationalIaMAgency00].
Ao longo do tempo, vários elipsoides foram definidos, pois as medidas da dimensão terra eram aperfeiçoadas. Os elipsoides podem ser utilizados em nível local ou mundial, onde se estabelecem medidas de \(a\) e \(f\), de forma a melhor se ajustar ao geóide local ou mundial, respectivamente. Na Tabela abaixo são apresentados alguns parâmetros de elipsoides e o local em que ele é ou foi utilizado [Smi97].
Elipsóide |
\(a\) (m) |
\(f^{-1}\) |
Local de utilização |
|---|---|---|---|
Everest 1830 |
\(6\,377\,276,345\) |
\(300,8017\) |
Índia, Pakistão |
Hayford 1924 |
\(6\,378\,388\) |
\(297\) |
Europa e Brasil |
Krassovskiy 1942 |
\(6\,378\,245\) |
\(298,3\) |
USSR |
Elip. Inter. de 1967 |
\(6\,378\,160\) |
\(298,25\) |
América do Sul |
Geodetic Reference System (GRS 1980) |
\(6\,378\,137\) |
\(298,257\,222\,101\) |
Mundial |
World Geodetic System (WGS84) |
\(6\,378\,137\) |
\(298,257\,223\,563\) |
Mundial |
Elipsóide versus Geóide
A diferença entre o desvio entre a altura em relação ao elipsóide (\(h\), altura geométrica) e a ao Geóide (\(H\), altura ortométrica), como já mencioado, é denominada de ondulação geoidal (\(H\)). Abaixo segue um mapa iterativo da ondulação geoida, \(N\) em metros, para a América do Sul segundo o modelo EGM2008, disponíbilizado no site ICGEM. Neste exemplo, os valores de \(N\) são em relativos relação ao sistema WGS84.
Coordenada geodésica¶
Para a determinação da latitude (\(\phi\), leia-se fi) e da longitude (\(\lambda\), leia-se lambda) geodésica de um ponto \(P\) qualquer, é considerada a normal \(P\) ao elipsóide (\(P'\), Figura 18) e:
sua projeção com o plano do Equador, para a latitude geodésica \((\phi_{p})\);
o meridiano de Greenwich (Grw) e o meridiano que passa por \(P'\), para a longitude geodésica \((\phi_{P})\) e;
a distância entre \(P\) e \(P'\), altura geodésica \((h_{P}\), também denominada de geométrica).
O plano do Equador é o plano perpendicular ao semieixo menor, encontram-se no centro do elipsóide. Um meridiano é uma seção elíptica gerada no elipsóide pelo plano definido pelo semieixo menor e o ponto em questão no elipsóide. A latitude geodésica de \(P\) é o ângulo entre a normal e o plano do equador \((\phi_{p})\). A longitude geodésica de \(P\) \((\lambda_{p})\) é o ângulo diedro dos planos que contem o meridiano de \(P'\) e o Grw.
A latitude no equador é de \(0^{\circ}\) e varia até \(-90^{\circ}\) ou \(+90^{\circ}\). Pode-se ao invés do sinal, \(+\) ou \(-\) , considerar o hemisfério Sul (S) e Norte (N), por exemplo, \(22^{\circ}\) S ou \(45^{\circ}\) N, respectivamente, para o Polo Sul e Norte. A variação da longitude é de \(0^{\circ}\) a \(-180^{\circ}\), quando o meridiano do ponto se encontra à esquerda de Grw, e de \(0^{\circ}\) a \(+180^{\circ}\) quando o ponto se encontrar a sua direita. Pode-se ao invés do sinal, \(+\) ou \(-\), considerar se o meridiano encontra-se a direita (Este, E) ou a oeste (West, W) de Grw, por exemplo, \(120^{\circ}\) E ou \(45^{\circ}`W.\).
As coordenadas calculadas pelos receptores GNSS são geodésicas, logo relacionada a um determinado elipsóide. Fato que deve-se estar atento, para não cometer erros grosseiros de interpretação das informações GNSS. Por exemplo, a elevação apresentada pelos receptores, é em relação ao elipsóide e não em relação ao Geóide. Normalmente, em engenharia, o interesse é com a elevação em relação ao geóide.
Figura 18 Variáveis necessárias para cálculo das coordenadas retangulares \((x,y,z)\) de um ponto \(P\) a partir das coordenadas geodésicas \((\phi,\lambda)\) e vice-versa.¶
Coordenada geodésica cartesiana¶
Um outro meio de estabelecer a localização espacial de um ponto, por exemplo o \(P\), a um determinado elipsóide, é por meio de sua coordenada geodésica cartesiana (\(x_{P},\,y_{P},\,z_{P}\)), também denominado de sistema de coordenada geocêntrica. Este é o sistema onde primeiramente a coordenada de um ponto é determinada pelos receptores GNSS. As coordenadas geodésicas retangulares também são utilizadas para efetuar transformação de coordenadas entre elipsoides.
Definiremos primeiro a origem do sistema e os eixos-\(x\), -\(y\) e -\(z\), sendo: a origem, o centro do elipsóide; o eixo-\(z\) é aquele que coincide com o semieixo menor do elipsóide, eixo de rotação; o eixo-\(x\) é aquele dado pela interseção do plano do Equador com o meridiano de Grw; e o eixo-\(y\) formando um diedro com os outros eixos (Figura 18). Quando as coordenadas Geodésicas são conhecidas, utilizam-se Equações (23) a (26) para convertê-las retangulares.
em que: \(N\) é denominado de grande normal, correspondendo ao comprimento da vertical que passa por \(P'\) ao eixo-z (Figura 18) dado por:
Exemplo 2 A latitude, longitude e altitude geodésica de um ponto \(P\) valem: \(\phi=-22^\circ13'21,1337''\), \(\lambda=-41^\circ47'29,8921''\) e \(h=272,32\,\mathrm{m}\). Considerando elipsóide WGS84, tendo como raios dos semieixos: \(a=6\,378\,137,0\,\text{m}\) e \(b=6\,356\,752,3\,\text{m}\), calcule as coordenadas retangulares.
Solução: Substituindo os valores nas Equações (23) a (26), tem-se:
Para a solução inversa, a partir das coordenadas geodésicas retangulares, calcular as coordenadas geodésicas \(\left(\phi,\,\lambda,\,h\right)\), diferentes metodologias podem ser utilizadas, sendo alguns métodos apresentados em [WG04] e [HWLW08]. Aqui será apresentada uma metodologia em que não há necessidade de iterações (Equações eq:cart_to_geo_lat a (29)), ou seja, é simples, uma vez que, com a aplicação das equações, o resultado é obtido diretamente.
em que:
Os termos \(e^{2}\text{ e }e'^{2}\) são denominados, respectivamente de primeira e segunda excentricidade. O valor de \(p\) corresponde ao raio no paralelo analisado.
Exemplo 3 A partir das coordenadas retangulares do Exemplo 2, referentes ao sistema WGS84, encontrar as coordenadas geodésicas \(\phi,\text{ }\lambda\text{ e }h\).
Solução: Sabendo-se que \(a=6\,378\,137,0\,\text{m}\) e \(b=6\,356\,752,3\,\text{m}\) e substituindo \({x=4\,404\,445,8857\text{ m}}\), \({y=-3\,936\,872,4167\,\text{m}}\) e \({z=-2\,397\,345,4965\,\text{m}}\) nas Equações (30) a (33) para o cálculo das variáveis auxiliares:
Agora, aplicando as Equações (27) a (29) e utilizando o valor de \(N\) já calculado no Exemplo 2 tem-se:
Como era esperado, o resultado é o mesmo de \(\phi\), \(\lambda\) e \(h\) do Exemplo 2.
Coordenada astronômica¶
Quando consideramos a vertical do ponto \(P\), que pode ser dada pela direção do fio de prumo, que tem a direção do centro de massa da terra, tem-se como a latitude astronômica de \(P\), o ângulo medido entre a vertical em \(P\) o plano do equador. Já a longitude astronômica é o ângulo entre o plano meridiano local e o meridiano de Grw.
Sistema de geodésico brasileiro¶
O objetivo de um sistema de referência geodésico é o de disponibilizar, implantar e manter uma infraestrutura básica para levantamento de posição de pontos na superfície da terra. Os sistemas de referências são aprimorados continuamente, de acordo com o estado da arte na época de sua definição. Por exemplo, atualmente para a definição da rede planimétrica, utiliza-se a tecnologia de posicionamento por satélite e, em épocas passadas, utilizava-se equipamentos topográficos convencionais, como pouca precisão. O Sistema Geodésico Brasileiro (SGB) é composto pelas redes planimétricas, altimétrica e gravitacional.
A rede gravitacional é aquela que trata na determinação da força da gravidade da terra, sendo o resultado pela atração da massa e da força centrífuga em um determinado ponto. Tais resultados são empregados por exemplo, na determinação da ondulação geoidal, no estudo das correntes oceânicas e na determinação das altitudes ortométricas. Podem-se citar como métodos empregados na sua determinação, o método pendular, a avaliação da queda livre de um corpo e, o mais usualmente utilizado, o Gravímetro. Outra forma de obter a gravidade da terra é utilizando-se satélites artificiais, podendo-se citar o par de satélites GRACE (Gravity Recovery And Climate Experiment), lançados em 2002. A determinação desta quantidade foge ao escopo introdutório deste livro e, para os que tiverem mais interesse neste tema, pode-se consultar [Gem99] e [Tap03].
Para a definição das redes planimétricas e altimétricas são necessárias as definições do Datum horizontal e o do Datum vertical, respectivamente, e a materialização das posições. O Datum horizontal é utilizado para as posições em latitude (\(\phi\)), longitude (\(\lambda\)) e altitude geodésica (\(h\), altitude em relação ao elipsóide) e, coordenadas cartográficas. Enquanto o Datum altimétrico é utilizado para definição de altitude ortométrica (\(H\), altitude em relação ao geóide). A materialização de posições, é realizada por meio marcos, ao longo do estado Brasileiro e em sua fronteira. A responsabilidade pelo SGB no Brasil fica a cargo do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE).
Datum horizontal¶
Um Datum horizontal é constituído de um elipsóide mais uma série de parâmetros que o posiciona à terra, como, por exemplo, a latitude e a longitude do ponto inicial e o azimute de um alinhamento. A posição do elipsóide em relação à terra pode ser topocêntrico, fixado a um ponto na superfície (Datum topocêntrico) ou geocêntrico, o centro do elipsóide coincide com centro de massa da terra (Datum geocêntrico). Um exemplo gráfico do ajuste de um Datum horizontal topocêntrico (Datum 1) e geocêntrico (Datum 2), ao geóide, é apresentado na Figura 19. O Datum topocêntrico só se ajusta bem ao Geóide em uma pequena porção do Geóide, parte inferior esquerda, enquanto no restante do Geóide não há um bom ajuste. Nota-se esta falta de ajuste, principalmente, na porção superior direita do Geóide, em que o Datum 1 passa bem acima. Já, o Datum 2, geocêntrico, tem seu centro C1 que coincide com centro de massa da terra, tendo os seus parâmetros \(a\) e \(f\) definidos de forma a minimizar os desvios dele com o Geóide como um todo, não em apenas uma porção.
Figura 19 Datum horizontal do tipo topocêntrico e geocêntrico.¶
Como dito anteriormente, o SGB é dinâmico, o Brasil já teve o Datum horizontal denominado de Córrego Alegre, que tinha como figura geométrica da terra o elipsóide Hayford 1924 (Tabela 2). Atualmente o Brasil adota dois Data [2], o SAD69 (SAD é a abreviação de South American Datum, Datum Sul Americano) e o SIRGA2000 (SIRGAS é a abreviação de Sistema de Referência Geocêntrico para as Américas) . As características do SAD69 e do SISGAS2000 [IBG05] são apresentadas abaixo:
Para o Datum SAD69:
Figura geométrica para a Terra: Elipsóide Internacional de 1967; Semi eixo maior \(a=6.378.160\,\text{m}\); \(f=1/298,2\).
Parâmetros referentes ao posicionamento espacial do elipsóide: Orientação geocêntrica com eixo de rotação paralelo ao eixo de rotação da Terra; plano meridiano origem paralelo ao plano meridiano de Greenwich;
Orientação topocêntrica, com: Ponto Datum = Vértice de triangulação Chuá; \(\phi_{\mathrm{G}}=19^\circ45'41,6527''\,\text{S}\); \(\lambda_{\text{G}}=48^\circ06'04,0639''\,\text{W}\); \(\phi_{\text{A}}=19^\circ45'41,34''\,\text{S}\); \(\lambda_{\text{A}}=48^\circ06'07,80''\,\text{W}\); \(A_{\text{G}}=271^\circ30'04,05''\) SWNE para VT-Uberaba; \(N=0,0\,\text{m.}\)
em que: “G” e “A” referem-se, respectivamente, às medidas geodésicas e astronômicas; \(N\) é denominado de ondulação geoidal, diferença entre altura do elipsóide e do geóide na posição analisada. A \(N\) pode ser obtido por meio do programa HgeoHNOR2020 , conhecendo as coordenadas do ponto em questão. Utilização do HgeoHNOR2020 para fins de altimetria serão apresentadas na seção Nivelamento GNSS.
Para o SIRGAS2000:
Figura geométrica para a Terra: Elipsóide do Sistema Geodésico de Referência de 1980 (Geodetic Reference System 1980 - GRS80) Semieixo maior \({a=\text{6.378.137 m}}\), \(f=1/298,257\,222\,101\);
Origem: Centro de massa da Terra;
Orientação: Polos e meridiano de referência consistentes em \(\pm0,005''\) com as direções definidas pelo BIH (Bureau International de l’Heure), em \(1984,0\).
Na Figura Figura 20 são apresentadas as posições dos marcos geodésicos que fazem parte do SGB. As técnicas nas quais os pontos foram levantados também são apresentadas. Faz parte da rede horizontal um total de \(8.226\), sendo \(1.008\), \(2.443\), \(3.642\) e \(1.133\) pontos referentes às técnicas, respectivamente, doppler, GPS, vértice de triangulação e estações de poligonal. Como é observado na Figura 20, algumas observações são realizadas fora do continente, em ilhas, por exemplo em Fernando de Noronha.
Figura 20 Posição das referencias horizontais e os métodos em que as posições foram estimadas. Dados obtidos no IBGE em 7 de maio de 2012.¶
Datum vertical¶
São duas as referencias de altitude adotado pelo Brasil, que coincide com nível médio dos mares (NMM), sendo: i) o Datum de Imbituba, definido de observações da maré em Imbituba, Santa Catarina entre os anos de 1949 e 1957, na Figura ao lado as referências de nível em vermelho e; e ii) o Datum de Santana, definido de observações da maré no estado do Amapá entre os anos de 1957 a 1958, as referências de nível cor verde. O Datum de Santana deu-se devido a impossibilidade de estender a rede de Imbituba à região do Amapá. Na Figura ao lado são apresentadas as posições da referência altimétrica do SGB, sendo um total de \(9.397\) referências de nível, \(475\) e \(8.922\), respectivamente, referentes ao Datum de Santana e ao Datum de Imbituba (Figura 21).
Figura 21 Posições das referencias horizontais das referências de nível dos Datum de Imbituba e Santana.¶
Sistema Geodésico Brasileiro na internet
Consultar: http://www.bdg.ibge.gov.br/appbdg/
Projeção cartográfica¶
Projeções cartográficas são funções matemáticas que transformam as coordenadas geodésicas \((\phi,\,\lambda)\) para coordenadas planas \((x,\,y)\), isto é, \(x=f(\phi,\,\lambda)\) e \(y=f(\phi,\,\lambda)\). Podem-se classificar as projeções cartográficas de acordo com:
a superfície utilizada na projeção: plana (Figura 22 a, d, g), cilíndrica (Figura 22 b, e, h) ou cônica (Figura 22 c, f, i). Na prática, a projeção é realizada analiticamente, ou seja, por meio de equações matemáticas, que são variantes destas formas geométricas;
se é tangente ou secante (Figura 23);
a posição da figura geométrica, por exemplo, caso a projeção seja cilíndrica tangente, ela é dita como sendo normal se o cilindro é tangente no equador (e.g. Figura 22 b); transversa, caso o cilindro seja tangente a um meridiano (e.g. Figura 22 e); e é oblíqua caso o cilindro seja tangente à qualquer seção normal que passa pelo ponto central (e.g. Figura 22 h).
Figura 22 Tipos de projeções.¶
Figura 23 Projeções tipo secantes.¶
Entendendo as projeções.
Projeções plana, cilíndrica e cônica secantes¶
Nenhum mapa pode ser ao mesmo tempo igual área e conforme. Projeções que não são igual área nem conforme são denominadas de afiláticas. Pode-se citar outros termos que descrevem características especiais de projeções:
Escala: projeções que mantém a escala em uma ou mais linhas do mapa são denominadas de equidistante. Vale salientar que nenhuma projeção é capaz de manter a escala correta em todo mapa;
Direção: são mapas em que uma determinadas direção ou azimute são apresentadas corretamente. Por exemplo, se a direção do azimute é apresentada corretamente entre dois pontos, diz-se que a projeção é azimutal;
As deformações da projeção só serão visíveis para grandes áreas, como para o mapa do Brasil. Para pequenas áreas, as distorções são de difícil percepção visual. A seguir serão apresentadas algumas projeções abrangendo toda, ou quase toda, a terra. Juntamente com o limite dos continentes, serão apresentadas elipses, denominadas de indicatrizes de Tissot, cujo objetivo é avaliar as distorções da projeção. A indicatriz de Tissot é o resultado da projeção da figura geométrica de um círculo no elipsóide de referência. Como exemplos de interpretação para indicatriz de Tissot na projeção pode-se citar: se a projeção é conforme, a elipse é um círculo e o seu tamanho vai variar ao longo do mapa; se as elipses aparentam ter a mesma área, variando a sua forma, temos uma projeção igual área; se os semieixos da indicatriz de Tissot são distintos, demonstra a distorção em escala e a deformação angular.
Projeções e indicatriz de Tissot.
ver páginas:
Projeção cônica de Albers (igual área)
Um exemplo de projeção igual área é a projeção cônica de Albers (Figura 24). Como diz o nome da projeção, ela é do tipo cônica, tendo os paralelos como arcos concêntricos e espaçamento distinto. Já os meridianos tem espaçamento igual, cortando os paralelos em ângulos retos. Nesta projeção a escala sofre deformação ao longo da latitude e da longitude, de forma a manter igual área ao longo do mapa. Ela é utilizada para regiões que tem extensões na direção leste-oeste, como os Estados Unidos.
Figura 24 Projeção cônica de Albers (igual área).¶
As fórmulas para a projeção cônica de Albers para um esferoide \((a=b)\) são apresentadas nas Equações (34) e (35), para o modelo da terra sendo um esferoide. Para o modelo da terra sendo um elipsóide, consultar [Sny87].
em que:
O eixo-\(y\) coincide com o meridiano central \((\lambda_{0})\). O eixo-\(x\) intercepta perpendicularmente em \(\phi_{0}\), aumentando para este. Observe que \(n\), \(C\) e \(\rho_{0}\) são constantes e são calculados uma única vez. As fórmulas inversas são:
em que:
Projeção sinusoidal (igual área)
Outro exemplo de projeção igual área é a Sinusoidal (Figura 25). O único meridiano que se apresenta como uma linha reta é o meridiano central (\(\lambda_{0}\)), os demais tem forma sinusoidal com espaçamento constante. No meridiano central a escala é verdadeira. Os paralelos tem espaçamento igual. O eixo-\(x\) coincide com a linha do Equador, enquanto o eixo-\(y\) coincide com o meridiano central. As equações para a projeção sinusoidal são simples. Considerando a forma da terra como um esferoide, as coordenadas retangulares da projeção Sinusoidal são:
As coordenadas devem estar em radianos. As funções inversas da projeção sinusoidal são:
Figura 25 Projeção sinusoidal (igual área).¶
Exemplo 4 Qual é a coordenada retângular de um ponto de latitude \(-21,4324^\circ\) e longitude de \(-42,7912^\circ\) considerando a projeção sendo sinusoidal com \(\lambda_{0}=0^\circ\).
Solução: Considerando as Equações (36) e (37), e observando que os ângulos devem estar em radianos tem-se:
Projeção cônica de Lambert (conforme)
A projeção cônica de Lambert conforme é apresentada na Figura 26. Ela é utilizado em nações que têm área predominantemente na direção de leste-oeste, como os Estados Unidos. Pode-se citar ainda que: os paralelos concêntricos e com espaçamento distinto, sendo mais próximo do centro do mapa; os meridianos tem espaçamento igual, cortando os paralelos em ângulos retos; a escala só é verdadeira ao longo dos paralelos padrão; e no hemisfério sobre os paralelos padrão o polo é um ponto, e no outro polo, infinito.
Figura 26 Projeção cônica de Lambert (conforme).¶
Projeção Azimutal (equidistante)
Na Figura 27 é apresentada uma projeção equidistante, do tipo Azimutal (azimutal equidistante). Pode-se citar como alguns aspectos desta projeção: as distâncias a partir do centro e ao longo do raio são verdadeiras; o único ponto que não têm distorção é o central e nenhum ponto tem área igual ou conforme; paralelos são círculos espaçados em intervalos verdadeiros.
Figura 27 Projeção Azimutal (equidistante).¶
A Equações para as coordenadas planas da projeção azimutal equidistante são:
em que:
Sendo \((\phi_{1},\lambda_{0})\) são a latitude e a longitude do centro da projeção e a origem. O eixo-\(y\) coincide com o meridiano central, crescendo ao norte e diminuindo ao sul. Se \(\cos c=1\) na Equação (42), ela é indeterminada, mas \(k'=1\), e \(x=y=0.\) Se \(\cos c=-1\) , o ponto é oposto ao centro \((-\phi_{1},\lambda_{0}\pm180^{\circ})\). As funções inversas são:
em que: \(\rho=\left(x^2+y^2\right)^{1/2}\) e \(c=\rho/R\).
Projeção Universal Transversa de Mercador (UTM)¶
Na projeção Universal Transversa de Mercador, Transverse Mercator Projection (UTM), a terra, entre as latitudes de \(84^\circ`N e :math:`80^\circ`S, é dividida em 60 fusos\footnote{Pode-se denominar também de zonas.}, cada um abrangendo :math:`6^\circ\) de longitude, numeradas de 1 a 60, começando a numeração em \(-180^\circ\) e caminhando a contagem no sentido leste. Denomina-se de meridiano central (MC) ao meridiano que divide determinado fuso ao meio. Desta forma, por exemplo, o primeiro fuso abrange a área entre os meridianos \(-180^\circ\) a \(-144^\circ\) (ou, \(180^\circ\) W a \(174^\circ\) W), logo, o MC deste primeiro fuso é igual a \(-177^\circ\). Já as letras do alfabeto identificam a posição em latitude, em que cada letra corresponde a uma variação de latitude de \(8^\circ\), com exceção da banda de latitude X, que abrange \(12^\circ\). A combinação do número do fuso com a letra da banda latitude define a zona do grid. Como exemplo, é apresentada a zona 22J, correspondendo, aproximadamente, a região dos estados do Paraná, Santa Catarina e Rio Grande do Sul. Esta combinação, de fuso com a letra da banda de latitude, é sempre apresentado, quando utilizando, por exemplo, receptores GNSS e o programa Google Earth, se o sistema de coordenadas estiver configurado em UTM.
Para o mapeamento de áreas fora de \(84^\circ\text{N}\) e \(80^\circ\text{S}\), região dos polos, é adotado uma outra projeção, Universal Polar Stereographic (UPS). Ela não será tratada aqui, todavia, maiores informações podem ser encontradas em [Sny87].
Figura 28 Fusos das coordenadas UTM.¶
O território Brasileiro está inserido ao longo de 8 fusos UTM, do número \(18\) ao \(25\), e das bandas de latitudes designadas pelas letras de H à N (Figura 29). Para a grande maioria dos estados, são necessários mais de um fuso para se trabalhar com as coordenadas UTM. Por exemplo, para o estado do Amazonas será necessário trabalhar com quatro fusos. Já o estado do Espírito Santo, encontra-se inserido em um único fuso, o \(24\), cujos meridianos limites são \(42^{\circ}\text{W}\) e \(36^\circ\text{W}\) \((\text{MC}=39^\circ\text{W})\). Este estado encontra-se entre os paralelos \(24^\circ\text{S}\) e \(16^\circ\text{S}\), letra de linha da latitude “K”. É por isto, que quando nos encontramos com um receptor GNSS em qualquer posição no estado, ele mostrará, juntamente com as coordenadas UTM do ponto, a informação “24K”, referente ao fuso e a linha de latitude onde o ponto se encontra.
Figura 29 Fusos das coordenadas UTM Brasil.¶
Agora vamos abordar as coordenadas UTM, onde, uma apresentação gráfica delas, para um fuso, é apresentada na Figura ao lado. A unidade das coordenadas UTM é o metro. Para as coordenadas UTM, considere: o eixo-\(x\) coincide com a linha do equador, e o \(\text{eixo-}y\) está a distância \(500.000\) m do MC do fuso. Nas coordenadas sobre MC é aplicado uma redução de escala de \(0,9996\,(k_{0})\), sendo que este fator vai aumentando, na medida em que se afasta do MC, sendo \(k=1\) a aproximadamente \(180\) km do MC. A partir dos \(180\) km, a escala aumentada \((k>1)\). Para o hemisfério Norte, a interseção do do eixo-\(x\) com MC, tem coordenada \(y=0\,\text{m}\) e \(x=500.000\,\text{m}\). Já, para o hemisfério Sul, a interseção do do eixo-\(x\) com MC tem coordenada \(x=500.000\,\text{m}\), todavia, a fim de evitar coordenada negativas, \(y=10.000.000\,\text{m}\). Em ambos os hemisférios, as coordenadas \(x\) e \(y\) crescem na direção, respectivamente, oeste-leste e sul-norte. Quando se trata de descrever as coordenadas UTM, normatizou-se em designar as coordenadas \(x\), por “E”, de Este, e \(y\), de “N”, de Norte.
Figura 30 Esquema das coordenadas UTM para um fuso qualquer.¶
Na Figura 31 é apresentado o limite do Espírito Santo em coordenadas UTM. Todo o limite se encontra no fuso 24, com MC de \(-39^{\circ}\), como já dito anteriormente. O estado encontra-se à esquerda do MC do fuso, logo suas coordenadas E serão sempre menores que 500.000m. No MC deste fuso é aplicada uma redução na escala de \(0,9996\,(k_{0})\). É apresentada nesta Figura a linha em que não há redução de escala \((k=1)\), encontrando-se a aproximadamente \(180\,\text{km}\) de MC. Todos os pontos que encontram-se a direita desta linha e a esquerda do MC terão a escala reduzida, \(k<1\). Já pontos que se encontrarem à esquerda da linha \(k=1\), será aplicada uma ampliação \((k>1)\). A coordenada do município de Alegre, \(\text{E}=236.175\,\text{m}\) e \(\text{N}=7.701.983\,\text{m}\), de onde pode-se concluir, por exemplo, que ele está \(263.825\,\text{m}\) do MC \((500.000-236.175)\) e a uma distância de \(2.298.017\,\text{m}\) da linha do Equador \((10.000.000-7.701.983)\).
Figura 31 Esquema das coordenadas UTM para a cidade de Alegre-ES.¶
Coordenadas geográficas para UTM
Sendo conhecidas as coordenadas geodésicas, latitude (\(\phi\)) e longitude (\(\lambda\)), de um ponto, seguem as fórmulas que são utilizadas para cálculo das coordenadas UTM. Para se obter as coordenadas, a Este soma-se \(500.000\,\text{m}\) ao valor de \(x\) (Equação (45)) e, para coordenada Norte no hemisfério sul, soma-se \(10.000.000\,\text{m}\) a \(y\) (Equação (46)).
em que: \(k_{0}\) é a escala no meridiano central, para projeção UTM, \(k_{0}=0,9996\). A grande normal, \(N\), foi definida na Equação (26), a segunda excentricidade, \(e'^2\), na Equação (31), para as demais variáveis auxiliares:
com \(\phi\) em radianos. \(M\) é a distância ao longo do meridiano central de \(\phi\), ao equador. A primeira excentricidade \(e^{2}\) foi definida na Equação (30). Caso as coordenadas geodésicas estejam em graus, o parâmetro \(A\) deve ser transformado para ângulos em radianos, ou seja, \(A=\frac{\pi}{180}(\lambda-\lambda_{0})\cos\phi\).
Exemplo 4 Calcule a coordenada UTM de um ponto de latitude \(-21^{\circ}\) e longitude de \(-41^{\circ}\). Considere como modelo da terra o sistema WGS84.
Solução: Verifica-se que para o valor da longitude do ponto, \(-41^\circ\), o fuso é o 24, que tem MC de \(-39^\circ\) \((\lambda_{0})\)). Do Exemplo 3 temos: \(e^2=0,006\,694\,384\,442\), logo \(e=0,081\,819\); e a segunda excentricidade, \(e'^2=0,006\,739\,501\). Para as outras variáveis auxiliares, considerando as Equações (26), (47) a (49), temos:
Substituindo os valores na Equação (50):
Aplicando os resultados nas Equações (45) e (46):
Para obtermos a coordenada Este, tem que se somar \(500\,000\,\text{m}\) m à \(x\) e, para a coordenada Norte, somar \(10\,000\,000\,\text{m}\) à \(y\). Desta forma, a coordenada do ponto é: \(\text{E}=292\,110,784\,\text{m}\) e \(\text{N}=7\,676\,551,720\,\text{m}\).
Para a solução do problema inverso, transformação de coordenada UTM (E, N) em geodésica \((\phi,\,\lambda)\), consultar [Sny87], [Defense Mapping Agency89] e [Wik21].
Sugestão de aula prática
Google Earth Pro como ferramente para uso em alguns problemas de geomática
Objetivo: Apresentar algumas funcionalidades do Google Earth Pro (https://www.google.com/earth/) em geomática.
Como roteiro:
apresentação geral do Google Earth Pro: janelas de funções; principais ícones de funções; zoom, adicionar ponto, caminho, etc;
como modificar o sistema de coordenadas de geográficas \((\phi,\,\lambda)\) para UTM \((\text{E, N})\);
apresentar os fusos das sistema de projeção UTM;
realização de medidas de distância e área.
Exercícios¶
1) Como é definida a forma da terra?
2) O que é altitude?
3) Defina Geóide, Elipsóide e Datum.
4) Quais são os Datum horizontal e vertical adotados pelo Brasil?
5) Defina latitude, longitude de um lugar?
6) Qual a nossa referência para altitude?
7) O que é projeção cartográfica, cite exemplos?
8) O que é uma projeção conforme, igual área e equidistante?
9) Descreva detalhadamente como é o sistema de coordenadas UTM (fusos, meridiano central, abrangência de cada fuso, etc)? O que significa uma coordenada UTM, \(\text{E}=610.000\,\text{m}\) e \(\text{N}=8.500.000\,\text{m}\) no hemisfério sul?
10) Dadas as coordenadas UTM de dois pontos no hemisfério sul: (a) \(\text{E}=216.589\) m e \(\text{N}=7.709.930\,\text{m}\); (b) \(\text{E}=251.361\,\text{m}\) e \(\text{N}=7.694.522\,\text{m}\). Calcular a distância entre eles?
Resp.: \(38.032,860\,\text{m}\).
Footnotes