Capitulo 8: Poligonal¶
Em um levantamento topográfico, pode haver a necessidade de estabelecer uma estrutura de pontos com coordenadas conhecidas, tendo a função de servir de base de apoio para as medidas dos pontos de detalhe. Para a construção desta estrutura, utiliza-se o que denominamos de poligonal, que é definida como uma séria de linhas conectadas, onde os ângulos e as distâncias dos alinhamentos são medidos, todas as vezes que sua direção tem mudança. A avaliação da precisão da poligonal, quanto aos ângulos e distâncias medidas, devem ser verificadas. Neste capítulo apresentaremos os procedimentos para determinação e avaliação de poligonais.
Poligonal fechada¶
Uma poligonal fechada é aquela que começa e termina no mesmo ponto, é matematicamente e geometricamente fechada, permitindo a avaliação dos erros angulares e lineares. Um exemplo deste tipo de poligonal é apresentado na Figura 69, onde os ângulos horizontais são medidos à direita. Os procedimentos para a medição dos ângulos horizontais são apresentados no Capitulo 7: Ângulos, sendo os medidores eletrônicos, presentes em estações totais, os equipamentos mais utilizados para esta finalidade. Já as medidas de distâncias horizontais (ver Capitulo 6: Medidas de distância), são realizadas, preferencialmente, por meio dos medidores eletrônicos de distância, devido à precisão. Todavia, pode-se utilizar medidas de distâncias obtidas por meio dos métodos taqueométricas ou à trena, dependendo do tipo de levantamento a ser realizado [Associação Brasileira de Normas Técnicas96].
Figura 69 Poligonal fechada, matematicamente e geometricamente fechada.}¶
Poligonal aberta¶
Uma poligonal aberta, geometricamente aberta, é aquela que apresenta uma série de alinhamentos, não retornando ao ponto inicial, podendo ser apoiada ou não. Por exemplo, na Figura 70 a e b é apresentada, respectivamente, uma poligonal dita apoiada e não apoiada. Na poligonal aberta e apoiada (Figura 70 a), ela começa e termina em alinhamentos conhecidos, onde as suas coordenadas foram previamente estabelecidas. Esta poligonal é dita geometricamente aberta e matematicamente fechada, sendo possível realizar uma avaliação do erro angular de fechamento (ver seção Avaliação do erro angular de fechamento (eaf)) e do erro linear. Já a poligonal aberta e sem apoio (Figura 70 b), não é possível a avaliação dos erros angulares e lineares, logo, deve-se evitá-la. Contudo, caso ela não possa ser evitada, faz-se necessário realizar as medidas de distância e de ângulos com o máximo de atenção, se possível com repetição, a fim de minimizar os erros.
Também na poligonal do tipo aberta, as distâncias e ângulos entre os alinhamentos devem ser, preferencialmente, medidos por meio de medidores eletrônicos, disponíveis nas estações totais. Com relação aos ângulos horizontais, neste nosso exemplo, eles são medidos à direita. No entanto, o método das deflexões também poderia ser o utilizado.
Figura 70 Exemplo de poligonal aberta e apoiada (a), matematicamente fechada e geometricamente aberta e poligonal aberta (b), matematicamente e geometricamente aberta.¶
Cálculo de uma poligonal fechada¶
A poligonal vai servir de estrutura básica para o mapeamento topográfico dos pontos de detalhe. Assim, a sua qualidade com relação a precisão angular e linear têm que ser verificadas. Tais procedimentos são realizados no escritório ou em campo. Em campo é possível, caso se trabalhe com estações totais que permitam estas avaliações. Os procedimentos para a avaliação e cálculo da poligonal, só são possíveis, ao final da coleta dos dados em campo, sendo eles apresentados na Figura ao lado. As medidas de ângulos e de distâncias serão avaliadas, comparando o erro destas medições com valores de tolerâncias máximas, estabelecidos pela NBR 13133 [Associação Brasileira de Normas Técnicas96], sendo que, apresentado erros superiores, há a necessidade de retornar em campo para repetir as medições em campo.
Figura 71 Procedimento para cálculo de uma poligonal fechada em um ponto.¶
Exemplo de cálculo de poligonal fechada¶
Na Figura 72 é apresentado um exemplo de caderneta de campo para uma poligonal do tipo fechada. Esta poligonal será utilizada como o nosso exemplo para as avaliações e cálculos que devem ser realizados neste tipo de politonal. Na caderneta de campo há a indicação de que os ângulo internos foram medidos pelo método das direções e a distâncias horizontais correspondem a média das leituras de ré e vante dos alinhamentos. Existe dois pontos de controle, o \(\mathrm{O}\) e o \(\mathrm{A}\), onde suas coordenadas UTM foram determinadas por meio de levantamento GNSS, logo, o azimute \(\mathrm{OA}\) pode ser determinado. Ele será a referência para a determinação dos demais azimutes. No início do levantamento, com o equipamento na estação \(\mathrm{A}\), a primeira medida de ângulo horizontal foi do alinhamento de azimute conhecido, \(\mathrm{OA}\), ao primeiro alinhamento da poligonal, \(\mathrm{AB}\). Depois passou-se a medir os ângulos internos e as distâncias horizontais dos alinhamentos, sendo os seus valores anotados na tabela da caderneta de campo.
Figura 72 Caderneta de campo de uma poligonal fechada.¶
Avaliação do erro angular de fechamento \((eaf)\)¶
A avaliação o erro angular de fechamento \((eaf)\) é realizada por meio da verificação da diferença do somatório dos ângulos internos medidos com o somatório dos ângulos internos teórico:
Sendo \(\Sigma\mathrm{Hz_{teórico}}=(n-2)180^\circ\) para ângulos internos, \(n\) é o número de lados ou vértices da poligonal.
Para o nosso exemplo, como o número de vértices é de \(5\) \((n=5)\), temos que o somatório teórico, \(\Sigma\mathrm{Hz_{teórico}}\), de \(540^\circ\), \((n-2)180^\circ\). O \(\Sigma\mathrm{Hz_{medido}}\) medidos é de \(539^\circ59'25''\) (ver Table 12). Logo, o \((eaf)\) é de \(-35''\). Considerando a tolerância máxima do erro angular de fechamento \(\text{T}\alpha\leq40''\sqrt{n} = 89''\), conclui-se que os ângulos internos foram medidos dentro dos limites admissível de erro, em que se considera para comparação o \((eaf)\) em módulo. Logo, os ângulos internos podem ser compensados. O tipo de compensação que será aplicada em cada ângulo interno será a linear (ver Compensação do erro angular, Equação (76)):
Na Tabela abaixo é apresentado a compensação para todos os ângulos internos. Note que o método linear é indicado quando o comprimento do alinhamentos forem aproximadamente constante. Quando isto não ocorrer, melhor ponderar as compensações pelos comprimentos dos alinhamentos em que o ângulo foi medido onde, as maiores compensações são aplicadas para os comprimentos mais curtos, pois estes estão sujeitos aos maiores erros nas suas medidas (ver [LC95a] e [WG04]).
Estação |
\(\sphericalangle\) medido |
erro médio |
\(\sphericalangle\) compensado |
|---|---|---|---|
\(\mathrm{A}\) |
\(49^\circ 7'44''\) |
\(+7\) |
\(49^\circ 7'51''\) |
\(\mathrm{B}\) |
\(100^\circ 4' 4''\) |
\(+7\) |
\(100^\circ 4'11''\) |
\(\mathrm{C}\) |
\(114^\circ 34'23''\) |
\(+7\) |
\(114^\circ34'30''\) |
\(\mathrm{D}\) |
\(59^\circ55' 7''\) |
\(+7\) |
\(59^\circ55'14''\) |
\(\mathrm{E}\) |
\(\underline{216^\circ18' 7''}\) |
\(\underline{+7}\) |
\(\underline{216^\circ18'14''}\) |
\(\,\) |
\(\Sigma=539^\circ59'25''\) |
\(\Sigma=35''\) |
\(\Sigma=540^\circ0'0''\) |
Cálculo dos azimutes provisórios¶
Uma vez que os ângulos internos foram compensados, o próximo passo é o cálculo dos azimutes provisórios. Nesta fase é necessário conhecer pelo menos um azimute do levantamento. Relembrando que os azimutes podem ter como referência de meridiano, o geográfico, o magnético, o hipotético ou o da quadrícula.
Com o uso do GNSS, trabalhando com coordenadas do tipo UTM, a partir da determinação de dois pontos na área a ser levantada, o azimute inicial tornou-se de fácil obtenção. Este azimute tem como referência o meridiano da quadrícula. Como no nosso exemplo foram determinadas as coordenadas UTM dos pontos de controle \(\mathrm{O}\) e \(\mathrm{A}\), pode-se calcular o azimute \(\mathrm{OA}\) e, como o ângulo \(\mathrm{OAB}\) também foi medido, o azimute \(\mathrm{AB}\) pode ser calculado, conforme apresentado no Exemplo abaixo.
Exemplo 1 Calcular o azimute \(\mathrm{AB}\) da poligonal fechada apresentada na Figura 72, onde se conhecem as coordenadas UTM dos pontos \(\mathrm{O}\) e \(\mathrm{A}\), e o ângulo \(\mathrm{OAB}\).
Solução: Cálculo do azimute \(\mathrm{OA}\) por meio das coordenadas UTM:
Cálculo do azimute \(\mathrm{AB}\) utilizando o azimute \(\mathrm{OA}\) e o ângulo horizontal \(\mathrm{OAB}\):
Por meio de um azimute da poligonal conhecido, no nosso exemplo o azimute \(\mathrm{AB}\) e; com as medidas dos ângulos internos compensadas, os demais azimutes da poligonal podem ser calculados. O azimute de um alinha manto é dado pelo azimute do alinhamento anterior \(\pm180^\circ\), mais o ângulo interno compensado. Os azimutes provisórios calculados para o nosso exemplo são apresentados na Tabela abaixo, onde no final, o azimute \(\mathrm{AB}\) é recalculado para a verificação dos cálculos.
Estação |
\(\sphericalangle\) compensado |
Az |
|---|---|---|
\(\mathrm{A}\) |
\(49^\circ 7'51''\) |
\(\color{blue}{\mathrm{\mathbf{Az_{AB}}}\mathbf{=286^\circ22'25''}}\) (conhecido) |
\(\mathrm{B}\) |
\(100^\circ 4'11''\) |
\(\mathrm{Az_{BC}}=286^\circ22'25''-180^\circ+100^\circ 4'11''=206^\circ26'36''\) |
\(\mathrm{C}\) |
\(114^\circ33'22''\) |
\(\mathrm{Az_{CD}}=206^\circ26'36''-180^\circ+114^\circ34'30''=141^\circ 1' 6''\) |
\(\mathrm{D}\) |
\(59^\circ55'14''\) |
\(\mathrm{Az_{DE}}=141^\circ 1' 6''-180^\circ+59^\circ55'14'' = 20^\circ56'20''\) |
\(\mathrm{E}\) |
\(216^\circ18' 14''\) |
\(\mathrm{Az_{EA}}=20^\circ56'20'' -180^\circ+216^\circ18'14''= 57^\circ14'34''\) |
Verificação |
||
\(\mathrm{A}\) |
\(49^\circ 7'51''\) |
\(\mathrm{Az_{AB}}=57^\circ14'34'' -180^\circ+49^\circ 7'51''=-73^\circ37'35''=\color{blue}\mathbf{286^\circ22'25''}\) |
Cálculo das coordenadas parciais¶
Uma vez calculados os azimutes provisórios, tem-se que determinar as coordenadas parciais dos alinhamentos, que nada mais são do que as projeções dos alinhamentos sobre o eixo-\(x\) e \(y\). Na Figura 73 é apresentado um alinhamento hipotético \(\mathrm{AB}\), e a sua projeção sobre o eixo-\(x\) e \(y\), correspondendo, respectivamente, a \(\Delta x\) e a \(\Delta y\). Como este alinhamento teve a distância horizontal e o azimute determinados, por meio deles, pode-se calcular as suas coordenadas parciais.
As coordenadas parciais, quando calculadas a partir do azimute, poderão ter valores positivos ou negativos. Se \(\Delta x\) ou \(\Delta y\) forem positivos, indica que o alinhamento tem direção este ou norte, respectivamente. Por outro lado, se \(\Delta x\) ou \(\Delta y\) forem negativos, a direção do alinhamento é oeste ou sul, respectivamente. Para as coordenadas parciais calculadas por meio dos rumos, há a necessidade de se estabelecer se o alinhamento está projetado esquerda ou ao sul \((-)\), ou se está à direita ou ao norte \((+)\). Como o cálculo com o azimute retorna o sinal da projeção automaticamente, logo o sentido da projeção, a sua utilização se torna preferível.
Figura 73 Representação e cálculo das coordenadas parciais de um alinhamento por meio do seu azimute e da distância horizontal.¶
Na Figura 74 são apresentadas as coordenadas parciais dos alinhamentos da nossa poligonal de exemplo (Figura 72). Também são apresentados os somatórios das distâncias horizontais, \(\Sigma\mathrm{DH}\), e das coordenadas parciais, \(\Sigma\Delta x\) e \(\Sigma\Delta y\). Estes somatórios serão utilizados nas próximas etapas, “avaliação do erro de fechamento linear e a sua compensação”.
Figura 74 Coordenadas parciais dos alinhamentos.¶
Avaliação do erro de fechamento linear¶
A nossa poligonal, \(\mathrm{ABCDEA}\), começa e termina em um mesmo ponto, o \(\mathrm{A}\). Uma vez que as medidas de ângulos e distância estão sujeitas a erros, caso se calcule as coordenadas retangulares das estações a partir das coordenadas parciais (Figura 74), ao invés de obtermos ao final a mesma coordenada da estação \(A\), obteríamos uma coordenada distinta, onde a denominaremos de \(A'\). Na Figura 75 é apresentado um esquema da nossa poligonal que não fecha em \(A\), mas sim em \(A'\). A distância entre \(A\) e \(A'\) é denominado de erro de fechamento linear \((E)\). Ele é utilizado para avaliação da precisão do levantamento, sendo dado por:
Figura 75 Esquema do erro de fechamento linear de uma poligonal.¶
Uma vez calculado \(E\), deve-se compará-lo com a tolerância do erro linear de fechamento (\(\mathrm{T}_p\)), que é apresentado na NBR 13133 [Associação Brasileira de Normas Técnicas96]. A \(\mathrm{T}_p\) depende da finalidade da poligonal. Para os nossos exemplo e exercícios de poligonal fechada, utilizaremos \(\mathrm{T}_p\leq0,56\sqrt{L(\mathrm{km})}\), sendo que, \(L\) é o perímetro da poligonal na unidade de quilômetros. Em se obtendo valor de \(E\leq\mathrm{T}_p\), pode-se realizar a compensação do erro de fechamento linear, a fim de tornar a poligonal fechada. Caso contrário, \(E>\mathrm{T}_p\), o levantamento não está de acordo com a precisão necessária para o projeto, devendo-se voltar ao campo e refazer as medidas de ângulos e de distância da poligonal.
Exemplo 2 Para a nossa poligonal de exemplo, calcular o erro de fechamento linear \((E)\) e, verificar se o mesmo se encontra dentro do limite de tolerância para o erro de fechamento linear.
Solução: De acordo com a Equação (79) e, os valores de \(\Sigma\Delta x\) e \(\Sigma\Delta y\) apresentados na Figura 74, temos:
O valor do perímetro da poligonal é de \(911,307\,\text{m}\,(0,911307\,\text{km})\) (Figura 74, logo \(\mathrm{T}_p\):
\(\mathrm{T}_p=0,56\sqrt{0,911307)}=0,535\,\text{m}\).
Uma vez que o \(E\leq\mathrm{T}_{p}\), pode-se concluir que a poligonal está dentro do limite máximo de erro de tolerância para o erro linear de fechamento, podendo-se aplicar a distribuição do erro linear.
Precisão relativa¶
Uma forma de apresentar no memorial descritivo e na planta, o grau de precisão interna da poligonal, é por meio da precisão relativa \((P_r)\). Ela é calculada pela razão entre o \(E\) e o perímetro da poligonal \((\Sigma\mathrm{DH})\). Desta forma, \(P_r\) do nosso exemplo será:
Dividindo o numerador e o denominador por \(0,520\), com a finalidade de tornar o numerador \(1\) e, arredondando o denominador, temos:
Significa que no nosso levantamento ocorre \(1\,\text{m}\) de erro a cada \(1\,753\,\text{m}\) de perímetro da poligonal. Quanto maior o valor do denominador, maior é a precisão do levantamento.
Compensação do erro de fechamento linear¶
A compensação do erro de fechamento linear, tem como objetivo tornar a poligonal fechada. Pode-se citar como metodologias empregadas para compensação do erro de fechamento linear: i) a distribuição do erro de fechamento igualmente por todas a coordenadas relativas; ii) proporcional ao comprimento dos lados; iii) proporcional aos valores absolutos das coordenadas parciais. A NBR 13133 [Associação Brasileira de Normas Técnicas96] permite a compensação por quaisquer destes métodos. Para o nosso levantamento utilizaremos o método proporcional ao comprimento dos lados, para os demais métodos consultar, por exemplo, em [LC95a], [WG04] e [LC95b].
A compensação do erro de fechamento linear, nas coordenadas parciais de um alinhamento qualquer \((C_{\Delta x}\) e \(C_{\Delta y})\), por exemplo o \(\mathrm{AB}\), pelo método proporcional ao comprimento do lado será:
Exemplo 3 Considerando as coordenadas parciais apresentada na Figura 74, referente a poligonal do nosso exemplo, calcular as coordenadas parciais compensadas por meio do método proporcional ao comprimento dos lados.
Solução: De acordo com a Equação (80) e (81), para o alinhamento \(\mathrm{AB}\), temos:
\({\displaystyle C_{\Delta x_{\mathrm{AB}}}=-\frac{0,301}{911,307}\times201,737=-0,067}\,\text{m}\),
\({\displaystyle C_{\Delta y_{\mathrm{AB}}}=-\frac{-0,424}{911,307}\times201,737=0,094}\,\text{m}\).
Desta forma, \(\Delta x\) e \(\Delta y\) compensados \((\Delta x_C\) e \(\Delta y_C)\), do alinhamento \(\mathrm{AB}\) serão:
\({\displaystyle \Delta x_{C_{\mathrm{AB}}}=\Delta x_{\mathrm{AB}}+C_{\Delta x_{\mathrm{AB}}}=-193,555+-0,067=-193.622\,\text{m}}\),
\({\displaystyle \Delta y_{C_{\mathrm{AB}}}=\Delta y_{\mathrm{AB}}+C_{\Delta y_{\mathrm{AB}}}=56,870+0,094=56,964\,\text{m}}\).
As compensações dos demais alinhamentos são apresentadas na Tabela a seguir. Note que ao final da tabela é realizado o somatório das compensações e das coordenadas parciais compensadas. O somatório das compensações tem que ser de mesmo valor do somatório das coordenadas parciais, com sinal contrário. Já o somatório das coordenadas parciais compensadas, tem que resultar em zero.
Estação |
DH |
\(\Delta x\) |
\(\Delta y\) |
\(C_{\Delta x}\) |
\(C_{\Delta y}\) |
\(\Delta x_C\) |
\(\Delta y_C\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
\(\mathrm{A}\) |
\(201,737\) |
\(-193,555\) |
\(56,870\) |
\(-0,067\) |
\(0,094\) |
\(-193,622\) |
\(56,964\) |
\(\mathrm{B}\) |
\(224,863\) |
\(-100,134\) |
\(-201,337\) |
\(-0,074\) |
\(0,105\) |
\(-100,208\) |
\(-201,232\) |
\(\mathrm{C}\) |
\(141,247\) |
\(88,854\) |
\(-109,798\) |
\(-0,047\) |
\(0,066\) |
\(88,807\) |
\(-109,732\) |
\(\mathrm{D}\) |
\(173,084\) |
\(61,855\) |
\(161,654\) |
\(-0,057\) |
\(0,081\) |
\(61,798\) |
\(161,735\) |
\(\mathrm{E}\) |
\(\underline{170,376 }\) |
\(\underline{143,281}\) |
\(\underline{92,187}\) |
\(\underline{-0,056}\) |
\(\underline{0,078}\) |
\(\underline{143,225}\) |
\(\underline{92,265}\) |
\(\,\) |
\(\Sigma=911,307\) |
\(\Sigma=0,301\) |
\(\Sigma=-0,424\) |
\(\Sigma=-0,301\) |
\(\Sigma=0,424\) |
\(\Sigma=0\) |
\(\Sigma=0\) |
Cálculo das coordenadas retangulares da poligonal¶
A poligonal vai servir de apoio para as medidas dos pontos de detalhe do mapeamento logo, o cálculo das suas coordenadas retangulares se faz necessário. A partir das coordenadas retangulares, por exemplo, podem-se calcular as distâncias horizontais e os azimutes finais dos alinhamentos. Também, a partir das coordenadas retângulares, pode-se calcular a área da poligonal pelo método de Gauss (seção Cálculo de área por Gauss).
Para o cálculo das coordenadas retângulares, há a necessidade de se conhecer pelo menos a coordenada de um ponto. Em uma situação ideal, a poligonal é vinculada a rede geodésica (Sistema Geodésico Brasileiro), onde será utilizada as coordenadas UTM. Em não havendo pontos de apoio topográfico, pode-se atribuir uma coordenada a um ponto, tomando-se o cuidado dele ter valores suficientemente altos, para não resultar em coordenadas retângulares negativas nos outros pontos. Por exemplo pode-se adotar no ponto inicial, \(x=10.000\,\text{m}\) e \(y=10.000\,\text{m}\). Outros procedimentos para a amarração da poligonal podem ser verificados na [Associação Brasileira de Normas Técnicas96] [páginas 7-8].
Considere um alinhamento hipotético \(\mathrm{AB}\), onde são conhecidas, a coordenada retangular do ponto \(\mathrm{A}(x_\mathrm{A},\,x_\mathrm{A})\) e as coordenadas parciais de \(\mathrm{AB}\), \((\Delta x_{\mathrm{AB}}\) e \(\Delta y_{\mathrm{AB}})\), então a coordenada de B será:
Exemplo 4 Calcular as coordenadas retangulares da poligonal da Figura 72, considerando conhecida a coordenada UTM da estação \(\mathrm{A}(\text{E}=268\,011,610\,\text{m};\,\text{N}=7\,370\,836,303\,\text{m})\).
Solução: A coordenada UTM, E e N, da estação \(\mathrm{A}\) é em relação ao eixo-\(x\) e \(y\) da quadrícula logo, \(x_{\mathrm{A}} = 268\,011,610\,\text{m}\) e \(y_{\mathrm{A}}=7\,370\,836,303\,\text{m}\). De acordo com a Equação (82) e (83), e as coordenadas parciais AB compensada, temos:
\({\displaystyle x_{\mathrm{B}}=268\,011,610+-193,622=267\,817,988}\,\text{m}\),
\({\displaystyle y_{\mathrm{B}}=7\,370\,836,303+56,964=7\,370\,893,267}\,\text{m}\).
Para os demais alinhamentos, os resultados são apresentados na Tabela a seguir. Note que a coordenada da estação conhecida é colocada na sua respectiva linha, assim, na linha da estação \(\mathrm{A}\), é colocado o valor da coordenada UTM obtida por GNSS. Para as demais estações a coordenada é calculada, somando a coordenada da linha acima (anterior) com a parcial, também da linha acima na Tabela. Com o objetivo de verificção dos cálculos, ao final, a coordenada do ponto inicial é calculada, em que deve-se obter o mesmo valor da coordenada de saída, neste exemplo, a obtida por GNSS.
Estação |
\(\Delta x_C\) |
\(\Delta y_C\) |
\(x\) (E) |
\(y\) (N) |
|---|---|---|---|---|
\(\mathrm{A}\) |
\(-193,622\) |
\(56,964\) |
\(\textcolor{blue}{\mathbf{268\,011,610}}\) |
\(\textcolor{blue}{\mathbf{7\,370\,836,303}}\) |
\(\mathrm{B}\) |
\(-100,208\) |
\(-201,232\) |
\(267\,817,988\) |
\(7\,370\,893,267\) |
\(\mathrm{C}\) |
\(88,807\) |
\(-109,732\) |
\(267\,717,780\) |
\(7\,370\,692,035\) |
\(\mathrm{D}\) |
\(61,798\) |
\(161,735\) |
\(267\,806,587\) |
\(7\,370\,582,303\) |
\(\mathrm{E}\) |
\(143,225\) |
\(92,265\) |
\(267\,868,385\) |
\(7\,370\,744,038\) |
\(\,\) |
\(\,\) |
Verificação |
\(\textcolor{blue}{\mathbf{268\,011,610}}\) |
\(\textcolor{blue}{\mathbf{7\,370\,836,303}}\) |
Cálculo da distância horizontal e azimute dos alinhamentos da poligonal¶
O azimute e a distância horizontal final dos alinhamentos devem calculados ao final, pois, uma vez que os erros dos ângulos e o linear foram compensados, a direção e a distância dos alinhamentos foram distintas das inicialmente calculadas e medidas, respectivamente. Estes azimutes e distâncias recalculados, serão as medidas a serem apresentadas no memorial descritivo e na planta final do levantamento.
As direções e as distâncias dos alinhamentos podem ser calculadas por meio das coordenadas parciais compensadas ou das coordenadas retangulares finais. As relações para a determinação do azimute e da distância horizontal de um alinhamento AB, por exemplo, por meio das coordenadas parciais compensadas ou das coordenadas retangulares finais, são:
Parasimplificação das Equações (84) a (87), foram utilizados, \(\Delta x\) e \(\Delta y\), e não \(\Delta x_C\) e \(\Delta y_C\), como apresentado anteriormente. Na determinação correta do azimute, deve-se considerar o quadrante em que o alinhamento se encontra, somando \(180^\circ\) se o alinhamento estiver no quadrante SE ou SW e, somando \(360^\circ\) se o alinhamento estiver no quadrante NW. No quadrante NE, o azimute é dado diretamente na Equação.
Cabe também salientar que, a Equação (84) não é definida quando \(\Delta y=0\), nem a Equação (85) e (86), quando \(\sin \mathrm{Az}_{\mathrm{AB}}=0\) ou \(\cos \mathrm{Az}_{\mathrm{AB}}=0\). Desta forma, comsiderar:
na Equação (84) o \(\Delta y=0\), o azimute será de \(90^\circ\) ou de \(270^\circ\), se \(\Delta x>0\) ou \(\Delta x<0\), respectivamente;
na Equação (85) com o \(\sin \mathrm{Az}_{\mathrm{AB}}=0\) \((\mathrm{Az=0^{\circ}}\) ou \(\mathrm{Az=180^{\circ}})\), a \(\mathrm{DH}\) será o módulo de \(\Delta y\);
na Equação (86) com o \(\cos \mathrm{Az}_{\mathrm{AB}}=0\) \((\mathrm{Az=90^{\circ}}\) ou \(\mathrm{Az=270^{\circ}})\), a \(\mathrm{DH}\) será o módulo de \(\Delta x\).
Exemplo 5 Calcular os azimutes e as distâncias horizontais finais dos alinhamentos do nosso exemplo.
Solução: A partir das coordenadas parciais compensadas do Exemplo 2 e, por meio da Equação (84), o azimute \(\mathrm{AB}\) será:
Como o alinhamento está no quadrante NW:
\({\displaystyle \mathrm{Az}_{\mathrm{AB}}=360^{\circ}-73^{\circ}36'22''=286^{\circ}23'38''}\).
Já a \(\mathrm{DH}_{\mathrm{AB}}\), considerando a Equação (87):
\(\mathrm{DH}_{\mathrm{AB}}=\sqrt{-193,622^2+56,964^2} = 201,828\,\text{m}\).
Para os demais alinhamentos, o procedimento é equivalente, sendo o resultado apresentado na Tabela a seguir.
Alin |
\(\Delta x_C\) |
\(\Delta y_C\) |
DH |
Az |
|---|---|---|---|---|
\(\mathrm{AB}\) |
\(-193,622\) |
\(56,964\) |
\(201,828\) |
\(286^\circ23'38''\) |
\(\mathrm{BC}\) |
\(-100,208\) |
\(-201,232\) |
\(224,802\) |
\(206^\circ28'19''\) |
\(\mathrm{CD}\) |
\(88,807\) |
\(-109,732\) |
\(141,166\) |
\(141^\circ 0'59''\) |
\(\mathrm{DE}\) |
\(61,798\) |
\(161,735\) |
\(173,139\) |
\(20^\circ54'42''\) |
\(\mathrm{EA}\) |
\(143,225\) |
\(92,265\) |
\(170,371\) |
\(57^\circ12'38''\) |
Observe que as distâncias horizontais e azimutes não correspondem aqueles medidos em campos e calculados, respectivamente (ver Figura 74). Isto ocorre pois, ao longo dos cálculos da poligonal fechada, os erros angulares e lineares foram compensados, modificando as posições dos pontos, logo a distância horizontal entre eles os seus sentidos.
Após os cálculo das coordenadas, e azimutes finais, a NBR 13133 [Associação Brasileira de Normas Técnicas96], página 19, ainda estabelece que: “Após o ajustamento, devem ser calculados e comparados com seus valores preestabelecidos como tolerâncias os erros médios relativos entre quaisquer duas estações poligonais (para todos os lados poligonais), o erro médio em azimute e o erro médio em coordenadas (de posição)”. Estes procedimentos de avaliação fogem ao objetivo introdutório deste livro, logo, não serão apresentados. Todavia, estas informações podem ser obtidas na [Associação Brasileira de Normas Técnicas96].
Cálculo da poligonal quando pontos não podem ser ocupados¶
Muitas vezes, no levantamento de uma poligonal, não é possível ocupar os pontos do limite da área, por exemplo, se o limite é materializado por uma cerca. Logo, o que se pode fazer é, estacionar o equipamento em uma posição próxima, e a partir desta estação, medir o ângulo horizontal entre o alinhamento da poligonal e o ponto de interesse e, também, a distância horizontal entre a estação e o ponto. Com o ângulo horizontal do alinhamento e o azimute da poligonal conhecido, é calculado o azimute da estação ao ponto obstruído e suas coordenadas parciais. Então, a coordenada do ponto obstruído pode ser calculada, uma vez que ele está apoiado em um ponto de coordenada conhecida e se conhecem as suas coordenadas parciais.
Exemplo 6 Considere que no nosso exemplo, ao invés da poligonal de interesse ser a \(\mathrm{ABCDEA}\), passe a ser a \(\mathrm{ABPDEA}\), de acordo com a Figura que segue. O ponto \(\mathrm{P}\) não pode ser ocupado, logo, da estação mais próxima \(\mathrm{(C)}\) mediu-se a distância horizontal \(\mathrm{CP}\) e o ângulo horizontal à direita \(\mathrm{BCP}\), sendo, respectivamente, de \(7,85\,\text{m}\) e \(253^\circ22'\) . Calcular o azimute e a distância horizontal do alinhamento \(\mathrm{BP}\).
Solução: Primeiramente, deve-se calcular a coordenada do ponto \(\mathrm{P}\). Para tanto, temos que determinar o \(\mathrm{Az}_{\mathrm{CP}}\) e as suas coordenadas parciais do alinhamento \(\mathrm{CP}\). O \(\mathrm{Az}_{\mathrm{CP}}\) é:
As coordenadas parciais do alinhamento \(\mathrm{CP}\):
Uma vez que a coordenada do ponto \(\mathrm{C}\) foi calculada (Exemplo 4), \(x_\mathrm{C}=267.717,780\,\text{m}\) e \(y_\mathrm{C}=7.370.692,035\,\text{m}\), a coordenada de \(\mathrm{C}\) será (Equações (82) e (83)):
Com a coordenada do ponto \(\mathrm{B}\) conhecida (Exemplo 5) e utilizando as Equação (84), temos o azimute \(\mathrm{BP}\):
Como o alinhamento \(\mathrm{BP}\) está no quadrante SW:
A distância horizontal \(\mathrm{BP}\) (Equação (87)):
Cálculo de uma poligonal aberta e apoiada¶
No cálculo de uma poligonal aberta e apoiada, as compensações dos erros angulares e lineares são realizadas da mesma forma que na poligonal fechada, caso estejam dentro da tolerância estabelecida pela NBR 13133 [Associação Brasileira de Normas Técnicas96]. Na avaliação dos erros, se a poligonal aberta e apoiada tem desenvolvimento curvo, deve-se calcular o erro de fechamento angular e linear da mesma forma que na poligonal fechada em um ponto, conforme apresentado na seção Cálculo de uma poligonal fechada, e comparar com a tolerância máxima para este tipo de poligonal. Já, se o desenvolvimento da poligonal for retilíneo, devem-se calcular os erros de fechamento longitudinal \((\mathit{efl})\) e o transversal \((\mathit{eft})\), e comparar se estes estão de acordo com a tolerância da NBR 13133 [Associação Brasileira de Normas Técnicas96].
Figura 76 Representação do erro de fechamento longitudinal e transversal de uma poligonal aberta e apoiada.¶
Na Figura 76 é apresentada uma representação gráfica conceitual do \(\mathit{efl}\) e do \(\mathit{eft}\). Seja \(\mathrm{AE}\) o alinhamento entre os pontos das estações de apoio, de saída e de chegada, do levantamento da poligonal \(\mathrm{ABCDE}\). Como o levantamento está sujeito aos erros angulares e lineares, quando calculada a posição do ponto de chegada, ao invés de encontrarmos a coordenada de \(\mathrm{E}\), será outra, denominaremos de \(\mathrm{E}'\) . A interseção da projeção perpendicular de \(\mathrm{E}'\) ao alinhamento \(\mathrm{AB}\), será denominado de \(\mathrm{H}\). Desta forma, o \(\mathit{efl}\) será comprimento entre o ponto \(\mathrm{H}\) e \(\mathrm{E}\), enquanto o \(\mathit{eft}\) é a distância entre \(\mathrm{H}\) e \(\mathrm{E}'\) . Como a poligonal tem desenvolvimento retilíneo, \(\mathit{eft}\) é função dos erro angular de fechamento, enquanto o \(\mathit{efl}\) é função do erro linear.
O \(\mathit{eft}\) e o \(\mathit{efl}\) podem ser obtidos analiticamente, antes da compensação angular. Um exemplo de procedimento de cálculo é apresentado no Exemplo que segue.
Exemplo 7 De acordo com a Figura 76, seja: a coordenada da estação de controle \(\mathrm{E}\) igual a \(x_{\mathrm E}=1\,420,118\,\text{m}\) e \(y_{\mathrm E}=1\,159,889\,\text{m}\); a coordenada \(\mathrm{E}'\) , calculada a partir das medidas de campo, sem a correção angular e linear igual a \(x_{\mathrm{E}'}=1\,419,080\,\text{m}\) e \(y_{\mathrm{E}'}=1\,160,235\,\text{m}\); o azimute entre as estações de controle \(\mathrm{AE}\) de \(230^\circ28'40''\). Pergunta-se, qual o \(\mathit{eft}\) e o \(\mathit{efl}\) desta poligonal aberta e apoiada.
Solução:
Sugestão de aula prática
Levantamento de uma poligonal fechada
Objetivo: Levantar, e calcular as coordenadas finais de uma poligonal a ser estabelecida em campo. Considerar o modelo da caderneta de campo apresentada na Figura 72.
Material: Estação total e acessórios.
Como sugestão de roteiro:
materializar em campo o poligonal a ser levantada;
no ponto inicial, depois do equipamento nivelado, estabelecer a direção do Norte;
medir o azimute do primeiro alinhamento;
fazer as medições no sentido anti-horário da poligonal, medindo os ângulos internos à direita e a distância horizontal do vétice ao ponto de vante;
avaliar o erro angular de fechamento;
compensar o erro angular de fechamento pelo método linear;
avaliar o erro linear;
calcular a precisão relativa;
compensar o erro de fechamento;
calcular as coordenadas totais;
desenhar no AutoCad;
Apresentar a poligonal em planta, com a sua precisão.
Exercícios¶
1) Em uma poligonal fechada com 5 vértices, \(\mathrm{ABCDE}\), foram medidos os ângulos horizontais à direita (internos), sendo: \(\mathrm{A}=100^\circ 27' 9''\), \(\mathrm{B}=71^\circ 20' 45''\), \(\mathrm{C}=216^\circ 47' 5''\) , \(\mathrm{D}=60^\circ 0' 3''\) e \(\mathrm{E}=91^\circ 25'18''\). Calcular o erro angular de fechamento e realizar a compensação pelo método linear.
Resp.: \(E=20'\); ângulos compensados: \(\mathrm{A}=100^\circ27' 5''\); \(\mathrm{B}= 71^\circ20'41''\); \(\mathrm{C}=216^\circ47' 1''\); \(\mathrm{D}= 59^\circ59'59''\) e \(\mathrm{E}=91^\circ25'14''\).
2) Fazer um esboço da poligonal \(\mathrm{ABCDE}\) e: calcular as coordenadas parciais; o erro de fechamento linear \((E)\) e; a precisão relativa \((P_r)\) do levantamento do exercício 1. Considere o azimute do alinhamento \(\mathrm{AB}\) de \(201^\circ 4'55''\) e, as distâncias horizontais dos alinhamentos em metros, de: \(\mathrm{AB}=173,831\); \(\mathrm{BC}=82,447\); \(\mathrm{CD}=100,334\); \(\mathrm{DE}=206,936\) e \(\mathrm{EA}133,172\).
Resp.: Na Figura abaixo.
3) O erro linear de fechamento encontrado no exercício 3 está dentro do limite estabelecido pela NBR13133, considerando \(\mathrm{T}_p\leq0,56\sqrt{L(\mathrm{km})}\) ?
Resp.: Sim.
4) Compensar as coordenadas parciais do exercício 2 utilizando o método proporcional ao comprimento dos lados e, sendo atribuída a coordenada do ponto \(\mathrm{A}\), \(x_\mathrm{A}=1.000\,\text{m}\) e \(y_\mathrm{A}=1.000\,\text{m}\), calcular as coordenadas dos demais vértices.
Resp.: Na Tabela abaixo.
Alin |
\(\Delta x_{\mathrm{C}}\) |
\(\Delta y_{\mathrm{C}}\) |
Ponto |
\(x\) |
\(y\) |
|---|---|---|---|---|---|
\(\mathrm{AB}\) |
\(-62,484\) |
\(-162,126\) |
\(\mathrm{A}\) |
\(1\,000,000\) |
\(1\,000,000\) |
\(\mathrm{BC}\) |
\(82,394\) |
\(-3,458\) |
\(\mathrm{B}\) |
\(937,517\) |
\(837,874\) |
\(\mathrm{CD}\) |
\(77,768\) |
\(-63,388\) |
\(\mathrm{C}\) |
\(1\,019,911\) |
\(834,416\) |
\(\mathrm{DE}\) |
\(33,174\) |
\(204,351\) |
\(\mathrm{D}\) |
\(1\,097,679\) |
\(771,028\) |
\(\mathrm{EA}\) |
\(-130,852\) |
\(24,620\) |
\(\mathrm{E}\) |
\(1\,130,852\) |
\(975,380\) |
5) Calcular os azimutes finais dos alinhamentos \(\mathrm{BC}\) e \(\mathrm{CD}\) do exercício 4.
Resp.: \(\mathrm{Az}_{\mathrm{BC}}=92^\circ24' 11,4''\) e \(\mathrm{Az}_{\mathrm{CD}}=129^\circ10'59,5''\).
6) Calcular as distâncias horizontais finais dos alinhamentos \(\mathrm{BC}\) e \(\mathrm{CD}\) do exercício 4.
Resp.: \(\mathrm{DH}_{\mathrm{BC}}=82,467\,\text{m}\) e \(\mathrm{DH}_{\mathrm{CD}}=100,329\,\text{m}\).
7) Seja a poligonal fechada apresentada na Figura 77, com: os ângulos internos medidos à direita; o azimute \(\mathrm{AB}\) de \(106^\circ12'36''\) e; a coordenada de \(\mathrm{A}\), \(x_\mathrm{A}=5\,000\,\text{m}\) e \(y_\mathrm{A}=5\,000\,\text{m}\). Sendo a compensação do erro de fechamento angular compensado pelo método linear e, a compensação do erro de fechamento linear pelo o método proporcional ao comprimento dos lados, calcular:
o erro angular de fechamento;
o erro de fechamento linear \((E)\);
a precisão relativa \((P_r)\);
as coordenadas dos pontos \(\mathrm{B}\) e \(\mathrm{C}\);
o azimute final \(\mathrm{BC}\).
Figura 77 Dados do Exercício 7.¶
Resp.: a) erro angular de fechamento de \(9''\); b) \(E=0,145\,\text{m}\); c) \(P_r=1/15\,892\); d) Ponto \(\mathrm{B}\) \((x_\mathrm{B}=5\,633,767\,\text{m; }\) \(y_\mathrm{B}=4\,815,722\,\text{m})\) e ponto \(\mathrm{C}\) \((x_\mathrm{C}=5\,198,167\,\text{m; }\) \(y_\mathrm{C}=5\,660,787\,\text{m})\); e) \(\mathrm{Az}_{\mathrm{BC}}=332^\circ43'50''\).
8) Na Figura 78 são apresentadas as distâncias horizontais e as coordenadas parciais não compensadas da poligonal \(\mathrm{ABCDE}\). Calcular:
o erro de fechamento linear \((E)\);
a precisão relativa \((P_r)\);
os azimutes e as distâncias horizontais após a compensação do erro de fechamento linear pelo o método proporcional ao comprimento dos lados.
Figura 78 Dados do Exercício 8.¶
Resp.: a) \(E=0,424\,\text{m}\); b) \(P_r=1/10\,379\) ; d) na Tabela abaixo.
Alinhamento |
Az |
DH |
|---|---|---|
\(\mathrm{AB}\) |
\(213^\circ38'10''\) |
\(632,008\) |
\(\mathrm{BC}\) |
\(121^\circ53'49''\) |
\(1\,128,664\) |
\(\mathrm{CD}\) |
\(45^\circ57'10''\) |
\(1\,160,489\) |
\(\mathrm{DE}\) |
\(282^\circ20'53''\) |
\(1\,476,432\) |