Capitulo 7: Ângulos¶
Introdução¶
Para a determinação das coordenadas de pontos topográficos, uma vez na área do levantamento, e com o auxílio de teodolitos/estações totais, medem-se os ângulos e as distâncias entre alinhamentos. Neste capítulo analisaremos os ângulos medidos, que podem ser, horizontais (seção Ângulo horizontal) ou verticais (seção Ângulo vertical), que são medidos em relação ao plano horizontal e vertical, respectivamente. Para os cálculos das coordenadas dos pontos, há a necessidade de conhecer (calcular) a direção dos alinhamentos em relação ao meridiano utilizado, ou seja, os azimutes ou rumos, sendo também vistos neste capítulo.
Medidores de ângulos¶
Na topografia, são utilizados bússolas, teodolitos ótico mecânicos, teodolitos eletrônicos e estações totais para a medição dos ângulos. Os ângulos que se podem medir com estes equipamentos são de dois tipos, o horizontal e o vertical, exceção da bússola, onde pode-se medir apenas ângulos horizontais. Nos teodolitos eletrônicos e nas estações totais, os ângulos são medidos eletronicamente, podendo-se armazená-los automaticamente na memória do equipamento. Já nos teodolitos ótico mecânicos, tem-se que fazer a leitura do ângulo no círculo horizontal e vertical graduado (limbo), anotando-a na caderneta de campo.
Na Figura 56 é apresentado um esquema dos limbos vertical e horizontal de um teodolito ótico mecânico. Quando o equipamento está nivelado sobre um ponto, o seu eixo vertical coincide com a linha da vertical do lugar, contendo o ponto estacionado e o centro ótico do equipamento \((O)\). O círculo horizontal é normal ao eixo vertical. Já o círculo vertical, tem direção paralela ao eixo vertical e o seu centro coincide com o eixo horizontal do instrumento. Na maioria dos nossos equipamentos, os ângulos são medidos na unidade de graus, de \(0^\circ\) a \(360^\circ\), no sentido horário. O \(0^\circ\) do círculo horizontal, pode ser fixo em qualquer direção, ficando independente do movimento da luneta. Com o círculo horizontal, o ângulo horizontal entre dois pontos qualquer pode ser medido \((\alpha)\), onde os procedimentos para a sua medição são apresentados na seção Método das direções.
Figura 56 Esquema de um teodolito com os círculos vertical e horizontal.¶
Com relação ao ângulo vertical, quando o equipamento está nivelado, o \(0^\circ\) do círculo vertical tem direção do zênite ou do plano horizontal que passa pelo centro ótico da luneta, respectivamente, ângulo zenital e de inclinação \((z)\). Maiores informações sobre os ângulos verticais podem ser encontrados na seção Ângulo vertical.
Ângulo horizontal¶
Alinhamento de vante e ré¶
A Figura 57 apresenta a sequência de vértices \(\mathrm{EAB}\), onde é realizada a medida do ângulo horizontal, no sentido horário, \(\alpha\), no vértice \(\mathrm{A}\). Para a medida de \(\alpha\), o ponto \(\mathrm{E}\) é o ponto inicial (ponto de ré), onde se realiza a visada de ré, enquanto e \(\mathrm{B}\), é o ponto final (ponto de vante), onde é realizada a visada de vante. Aos alinhamentos que correspondem ao início e ao final das medidas, denominamos de alinhamentos de ré e vante. Para este exemplo, \(\mathrm{AE}\) é o alinhamento de ré e \(\mathrm{AB}\) o de vante. O ângulo \(\alpha\) pode ser calculado subtraindo a medida do ângulo horizontal de vante da medida de ré.
Figura 57 Leitura do ângulos internos \(\mathrm{EAB}\).¶
Medição do ângulo horizontal¶
Existem várias formas de medição dos ângulos horizontais, a mais simples é apresentada na Figura 57, em que o ângulo \(\alpha\) é determinado de apenas uma leitura no ponto de ré e no de vante. Todavia, devido aos erros instrumentais, deve-se considerar a média de várias medidas de \(\alpha\), com a luneta na posição direta e inversa (ver seção Ângulo vertical). Neste texto será apresentado o método das direções, que é o previsto para ser utilizado pela NBR 13133 [Associação Brasileira de Normas Técnicas96] na medição de ângulos. Para outros métodos, pode-se consultar, Loch and Cordini [LC95a], Gonçalves et al. [GonccalvesMS08] e Wolf and Ghilani [WG04].
Método das direções¶
Considere os alinhamentos apresentados na Figura 57. O método das direções tem as seguintes etapas quando se trabalha com estação total:
equipamento é centralizado e nivelado em A, ponto da estação;
com a luneta na posição direta (PD), é realizada uma aproximação em E, ponto de ré. Com o movimento horizontal e vertical travados, e com o auxílio dos parafusos de movimento micrométrico, é realizada a visada exata ao centro prisma;
o ângulo horizontal em E pode ser zerado, ou o seu valor lido, teremos \((L_{\mathrm{PD}}^\mathrm{r\acute{e}})\);
com o movimento horizontal e vertical solto, faz-se uma visada aproximada em B, ponto de vante, e com os parafusos micrométricos, depois que os movimentos horizontal e vertical estiverem travados, faz-se a aproximação precisa ao centro do prisma, anotando-se o ângulo horizontal \((L_{\mathrm{PD}}^\mathrm{vante})\). Se na etapa anterior o ângulo horizonal foi zerado, o ângulo horizontal em B corresponderá a \(\alpha\) na posição direta, \(\alpha_{\mathrm{PD}}\). Se o ângulo horizontal na etapa anterior não foi zerado, o valor de \(\alpha_{\mathrm{PD}}\) será dado pela diferença dos ângulos horizontais de vante e de ré, no nosso caso, \(\alpha_{\mathrm{PD}}=L_{\mathrm{PD}}^\mathrm{vante}-\mathrm{L}_{\mathrm{PD}}^\mathrm{r\acute{e}}\);
repete-se as estapas b a d, \(n\) vezes;
coloca-se a luneta na posição inversa (PI), e repete-se as etapas de b a d mais \(n\) vezes, onde teremos \(n\) valores de \(\alpha\) com a luneta na PI, \(\alpha_{\mathrm{PI}}\);
o valor médio de \(\alpha\,(\bar{\alpha})\), será a média de todas as medidas na posição direta e inversa:
Na Figura 58 é apresentado um exemplo de cálculo de um ângulo horizontal entre dois alinhamentos pelo método das direções. São realizadas duas repetições, com a luneta na posição direta e inversa. Na posição direta, o ângulo horizontal no ponto de ré foi zerado, o mesmo não acontecendo quando a posição era a inversa. Se trabalhando com estação total, o ângulo horizontal no ponto de ré, quando a luneta está na posição inversa, também poderia ter sido zerado. Este último procedimento, zerar o ângulo horizontal no ponto de ré quando a luneta está na posição inversa, não é realizado quando utiliza-se o teodolito do tipo ótico mecânico. Uma vez que o método das direções visa medir os ângulos horizontais em diferentes posições do limbo destes equipamentos. Para maiores informações, consultar NBR 13133 [Associação Brasileira de Normas Técnicas96], página 3.
Figura 58 Exemplo de anotações para medida de ângulo pelo método das direções.¶
Ângulos horizontais à direita¶
Os ângulos horizontais medidos entre os alinhamentos são na grande maioria os ângulos internos e de deflexão. Na Figura 59 a são apresentados ângulos horizontais internos medidos à direita, ou seja, no sentido horário nos vértices \(\mathrm{A, B, C, D}\) e \(\mathrm{E}\). Os ângulos são medidos na sequência \(\mathrm{A, B, C, D}\) e \(\mathrm{E}\). Desta forma, os alinhamentos \(\mathrm{AB}\), \(\mathrm{BC}\), \(\mathrm{CD}\), \(\mathrm{DE}\) e \(\mathrm{EA}\) são denominados de vante. Já \(\mathrm{BA}\), \(\mathrm{CB}\), \(\mathrm{DC}\), \(\mathrm{DE}\) e \(\mathrm{AE}\) são os alinhamentos de ré. Observe que para medir os ângulos internos horizontais à direita da poligonal fechada \(\mathrm{ABCDE}\), tem-se que fazer um caminhamento no sentido anti-horário. No alinhamento \(\mathrm{AB}\) é apresentado o seu azimute, ou seja a sua direção em relação ao meridiano. Ela é necessária para o cálculo dos azimutes dos demais alinhamentos, como será visto na seção Cálculo do azimute a partir dos ângulos internos à direita.
Ângulos de deflexão¶
O ângulo de deflexão de um determinado alinhamento é o ângulo entre ele e o prolongamento do alinhamento anterior. Na Figura 59 b é apresentado um exemplo de um levantamento utilizando este tipo de medida angular. Pode-se observar que o ângulo de deflexão pode ser à direita (deflexão à direita, DD) ou à esquerda (deflexão à esquerda, DE), se o alinhamento é medido à direita ou à esquerda do prolongamento anterior, respectivamente. Os ângulo de deflexão têm variação de \(0^\circ\) a \(180^\circ\). As medidas de ângulos de deflexão são as mais utilizadas para a locação de estradas, dutos, canais de irrigação, etc. Em algumas estações totais, é possível configurá-la para trabalhar com este tipo de ângulo.
Figura 59 Exemplo de poligonais medidas por ângulos internos à direita (a) e por de deflexão (b). DD é a deflexão à direita e DE deflexão à esquerda.¶
Meridiano¶
A direção de um alinhamento em topografia corresponde ao ângulo horizontal entre o alinhamanto e uma linha arbitrária, que denominados de meridiano. Em um levantamento topográfico, tem-se que definir qual é a referência de meridiano que vai ser utilizado, podendo ser [WG04]:
meridiano geodésico: é a linha norte-sul de referencia que passa pela posição média dos pólos, medida entre 1900.0 e 1905.0;
meridiano astronômico: é a linha norte-sul de referencia que passa pela posição instantânia dos pólos geográficos da terra, é determinado usualmente por medidas astronômicas;
meridiano magnético: é linha norte-sul que passa passa pelo eixo da agulha magnetizada livre, com apoio apenas no seu centro. (seção Declinação magnética);
meridiano da quadrícula: corresponde a direção do eixo-\(y\) do sistema cartesiano da quadrícula, da projeção cartográfica. Nas coordenas UTM, corresponde ao eixo Norte (seção Projeção Universal Transversa de Mercador (UTM)). É de fácil determinação com uso do GNSS;
meridiano estabelecido: é aquele proveniente de documentação de levantamento realizado anteriormente na área;
o meridiano hipotético: é aquele estabelecido em campo, sem relação com os apresentados acima. Deve ser evitado, uma vez que, no futuro, pode tornar difícil ou até impossível aviventar o levantamento. Sugere-se, caso se utilize este tipo, a construção de marcos nos pontos que foram utilizados para a sua definição. Desta forma, seria possível a aviventação dos alinhamentos no futuro.
Azimute¶
O azimute (Az) de um alinhamento é o ângulo horizontal entre o norte do meridiano e o alinhamento, medido no sentido horário. As medidas de azimute iniciam no norte do meridiano, variando de \(0^{\circ}\) a \(360^{\circ}\). O meridiano pode ser quaisquer dos apresentados na seção Meridiano.
O azimute quando medido do começo para o final do alinhamento é denominado azimute de vante. Na Figura 60 a são observados os azimutes de vante OA, OB, OC OD, respectivamente, de \(45^\circ\), \(160^\circ\), \(230^\circ\) e \(300^\circ\).
O azimute de ré do alinhamento OA (vante) é o azimute de AO, ou seja, quando o azimute do alinhamento é medido do final para o início do alinhamento. Quando se conhece o azimute de vante um alinhamento, o seu azimute de ré pode ser calculado: i) subtraindo-se o azimute de \(180^\circ\) se ele estiver entre \(180^\circ\) e \(360^\circ\) ou; ii) somando-se ao azimute \(180^\circ\), se ele estiver \(0^\circ\) e \(180^\circ\). Na Figura 60 b é apresentado o alinhamento OA com azimute de vante, \(45^\circ\), e o seu azimute de ré, AO, de \(225^\circ\) (\(180^\circ+45^\circ\)).
Figura 60 Exemplo de azimutes de vante (a) e ré do alinhamento OA (b).¶
Rumo¶
O rumo de um alinhamento é o ângulo agudo que faz com o meridiano, logo, nunca é maior que \(90^\circ\). A medição dele começa no norte ou sul do meridiano, medindo-se à direita ou à esquerda, caso o alinhamento se encontre à leste (E) ou à oeste (W) do meridiano, respectivamente. Para a sua adequada descrição, além do ângulo, deve-se constar o quadrante na qual o alinhamento se encontra, nordeste (NE), sudeste (SE), sudoeste (SW) ou noroeste (NW). O meridiano pode ser o geodésico, da quadrícula, hipotético, etc.
Chama-se de rumo de vante, quando o mesmo é medido do início do alinhamento para o final. Na Figura 61 a são observados exemplos de medidas de direção utilizando o rumo de vante. Observe que os alinhamentos estão nas mesmas direções e sentidos do exemplo apresentado para o azimute na Figura 61 a.
O rumo de ré OA é o rumo AO, ou seja, quando mede-se o rumo do fim do alinhamento para o começo. Os valores dos rumos de ré também são menores que \(90^\circ\), e deve-se informar o quadrante em que se encontra. O rumo de ré é de fácil determinação, o valor angular é o mesmo e o quadrante, o oposto. Na Figura 61 b é apresentado o rumo de ré do alinhamento OA, \(45^\circ\,\text{SW}\).
Figura 61 Exemplo de rumos de vante (a) e ré (b) do alinhamento OA.¶
Figura 62 Denominação dos rumos quando se encontram nos sentidos dos pontos cardeais.¶
Conversão de azimutes em rumos¶
Para fazer a conversão de azimute para rumo basta verificar o quadrante em que se encontra o alinhamento e aplicar a regra da Equação (74). Note que para o rumo, deve-se acrescentar o quadrante em que se encontra o alinhamento.
Exemplo 1 Dados os azimutes dos alinhamentos: \(12=37^\circ40'\), \(23=122^\circ15'\), \(34=257^\circ30'\) e \(45=290^\circ10'\). Calcular o rumo.
Solução: Na Figura abaixo é apresentada a solução.
Erro angular de fechamento \((eaf)\)¶
Sempre que se realiza um levantamento topográfico é necessário fazer a verificação se os erros nas medições de ângulos e distâncias estão de acordo com a tolerância definida pela NBR 13133 [Associação Brasileira de Normas Técnicas96], para depois compensá-los, se estiver dentro do máximo tolerado. Tal procedimento só é possível se a poligonal for do tipo fechada ou quando aberta e apoiada (ver Capitulo 8: Poligonal). Por exemplo, se for uma poligonal fechada em um ponto e os ângulos internos medidos, o erro angular de fechamento é a diferença do somatório do ângulos internos medidos com o somatório dos ângulos internos teórico. Se aberta e apoiada, é a diferença do azimute calculado do alinhamento final com o azimute deste alinhamento previamente estabelecido.
Para o somatório dos ângulos horizontais internos teórico \((\Sigma\mathrm{Hz_{teórico}})\), considere, por exemplo, uma poligonal fechada fechada na forma de triângulo, em que foram medidos os ângulos internos, temos o número de lados desta poligonal, \(n\), de três. Logo \(\Sigma\mathrm{Hz_{teórico}}\) é de \(180^\circ\). Pode-se generalizar \(\Sigma\mathrm{Hz_{teórico}}=(n-2)180^\circ\) para uma poligonal qualquer com \(n\) vértices.
O \((eaf)\) é dados por:
A tolerância para o \(eaf\) \((\mathrm{T}\alpha)\) vária de acordo com finalidade levantamento a ser realizado. Para uma poligonal fechada de \(n\) vértices e apoiada em um só ponto, cuja a finalidade é para estudos de viabilidade em projetos de engenharia, temos \(\mathrm{T}\alpha\leq40''\sqrt{n}\). Para outros casos ver NBR 13133 [Associação Brasileira de Normas Técnicas96]. Em se encontrando um erro angular menor do que o estabelecido pela norma, é realizada a compensação, que nada mais é do que, a distribuição do erro angular de fechamento nos ângulos medidos.
Exemplo 2 Calcular o erro angular de fechamento da poligonal fechada da Figura 59 a. Se o levantamento foi realizado para estudos de viabilidade em projetos de engenharia, pergunta-se, o erro angular de fechamento estaria dentro da tolerância estabelecida pela NBR13133?
Solução: Para a poligonal em questão, temos 5 lados, \(n=5\), então somatório de ângulos internos teórico é \(540^\circ\), \((5-2)180^\circ\). O somatório dos ângulos internos medidos é:
Vértice |
\(\sphericalangle\) medido |
|---|---|
\(\mathrm{A}\) |
\(99^\circ48'54''\) |
\(\mathrm{B}\) |
\(95^\circ55'15''\) |
\(\mathrm{C}\) |
\(118^\circ37'50''\) |
\(\mathrm{D}\) |
\(82^\circ47'2''\) |
\(\mathrm{E}\) |
\(\underline{142^\circ50'14''}\) |
\(\,\) |
\(\Sigma=539^\circ59'15''\) |
Desta forma, o erro angular de fechamento é de \(-45''\) \((539^\circ59'15''-540^\circ)\). Se o levantamento fosse para estudos de viabilidade em projetos de engenharia, \(\mathrm{T}\alpha\leq40''\sqrt{n}=89''\). Como o \(eaf\) é menor, considerando valor absoluto, \((|-45''|)\), pode-se concluir que o erro nas medições dos ângulos da poligonal estão dentro do limite estabelecido pela NBR13133, podendo-se realizar a compensação.
Compensação do erro angular¶
Uma vez que o erro angular de fechamento foi menor do que a tolerância, e antes de se calcular os rumos ou os azimutes, é necessário que se faça a compensação do erro angular de fechamento, para que o somatório dos ângulos internos da poligonal levantada seja igual ao do valor teórico. Existem vários métodos de compensação, sendo que o mais comum é distribuir o erro angular de forma linear \((C_{eaf})\) entre os ângulos medidos. Ou seja, aplicar em cada um dos vértices o erro médio, dado pelo erro angular de fechamento dividido pelo número de lados:
No Exemplo abaixo é apresentada a distribuição do erro angular para o levantamento da Figura 59 a. Este método deve ser utilizado quando os comprimentos dos alinhamentos forem aproximadamente iguais. Outros métodos de compensação podem ser encontrados, por exemplo, em Loch and Cordini [LC95a].
Exemplo 3 Distribuir o erro angular de fechamento da poligonal fechada da Figura 59 pelo método linear.
Solução: Na tabela a seguir, é apresentado o resultado da compensação. Na coluna I estão os ângulos horizontais medidos em cada um dos vértices; na II a \(C_{eaf}\) e; na III, o ângulo interno compensado (I + II). Com o erro angular de fechamento de \(-45''\) (ver exemplo 2), e sendo a poligonal de cinco lados, temos o erro médio de \(9''\) \((-\frac{-45''}{5})\). Note que, como o somatório dos ângulos medidos foi menor do que o teórico, então deve-se somar \(9''\) a cada um dos vértices. Caso contrário, o somatório das medidas angulares maiores que o teórico, deve-se subtrair.
Vértice |
\(\sphericalangle\) medido (I)) |
\(C_{eaf}\) (II) |
\(\sphericalangle\) compensado (I+II) |
|---|---|---|---|
\(\mathrm{A}\) |
\(99^\circ48'54''\) |
\(+9\) |
\(99^\circ49'3''\) |
\(\mathrm{B}\) |
\(95^\circ55'15''\) |
\(+9\) |
\(95^\circ55'24''\) |
\(\mathrm{C}\) |
\(118^\circ37'50''\) |
\(+9\) |
\(118^\circ37'59''\) |
\(\mathrm{D}\) |
\(82^\circ47'2''\) |
\(+9\) |
\(82^\circ47'11''\) |
\(\mathrm{E}\) |
\(\underline{142^\circ50'14''}\) |
\(\underline{+9}\) |
\(\underline{142^\circ50'23''}\) |
\(\,\) |
\(\Sigma=539^\circ59'15''\) |
\(\Sigma=45''\) |
\(\Sigma=540^\circ00'00''\) |
Cálculo do azimute a partir dos ângulos internos à direita¶
Para os cálculos das coordenadas parciais, é necessário determinar os azimutes ou rumos dos alinhamentos. Normalmente, nos cálculos, trabalha-se com valores de azimute, uma vez, que os sentidos das coordenadas parciais dos alinhamentos são dados diretamente. Já, com os rumos, temos que estabelecer os sentidos dos alinhamentos, por exemplo, se estão com sua projeção sobre o eixo-\(x\), à direita ou à esquerda, respectivamente, E ou W, do meridiano utilizado.
Quando o ângulo horizontal é medido para a direita, o cálculo do azimute de um alinhamento é dado pelo azimute de ré do alinhamento anterior mais o ângulo à direita. O azimute de ré, como já apresentado, é o azimute de vante \(\pm 180^\circ\). Na Figura 63 é apresentado graficamente o cálculo dos azimutes dos alinhamentos para a poligonal da Figura 59. Para esta solução optou-se por calcular os azimutes de ré subtraindo \(180^\circ\), sendo que não mudaria em nada os valores dos azimutes calculados se utilizasse a soma de \(180^\circ\). Note que os ângulos internos utilizados são os compensados (ver Exemplo 3), e o azimute do alinhamento AB é conhecido \((299^\circ8'19'')\). Para o azimute do alinhamento BC temos:
o azimute do alinhamento anterior, AB, é conhecido, logo o seu azimute de ré, BA, é dado subtraindo do azimute AB de \(180^\circ\), isto é, \(\mathrm{Az_{BA}}=299^\circ8'19''-180^\circ = 119^\circ8'19''\);
para se calcular \(\mathrm{Az_{BC}}\), basta somar o \(\mathrm{Az_{BA}}\) ao ângulo interno medido em B, \(\mathrm{Az_{BC}}=119^\circ8'19''+95^\circ55'24''=215^\circ3'34''\).
O procedimento acima é repetido para os demais vértices. Um ângulo negativo indica que o ângulo está sendo contado no sentido anti-horário. Quando o azimute calculado for menor que \(0^\circ\) ou maior que \(360^\circ\), deve-se somar ou subtrair \(360^\circ\), respectivamente. Se a poligonal for fechada ou apoiada em vértices de controle, ao final dos cálculos deve-se confrontar os azimute calculado com: o azimute inicial, se a poligonal for fechada em um ponto ou; o azimute do alinhamento de controle final, quando a poligonal for aberta e apoiada ao final. Na Tabela abaixo são apresentados os cálculos quando os dados estão tabelados.
Figura 63 Cálculo dos azimutes utilizando ângulos internos.¶
Vértice |
\(\sphericalangle\) compensado |
Az |
|---|---|---|
A |
\(99^\circ49'3''\) |
\(\color{blue}{\mathrm{\mathbf{Az_{AB}}}\mathbf{=299^\circ8'19''}}\) (conhecido) |
B |
\(95^\circ55'24''\) |
\(\mathrm{Az_{BC}}=299^\circ8'19''-180^\circ+95^\circ55'24''=215^\circ3'43''\) |
C |
\(118^\circ37'59''\) |
\(\mathrm{Az_{CD}}=215^\circ3'43''-180^\circ+118^\circ37'59''=153^\circ41'42''\) |
D |
\(82^\circ47'11''\) |
\(\mathrm{Az_{DE}}=153^\circ41'42''-180^\circ+82^\circ47'11''=56^\circ28'53''\) |
E |
\(142^\circ50'23''\) |
\(\mathrm{Az_{EA}}=56^\circ28'53''-180^\circ+142^\circ50'23''=19^\circ19'16''\) |
Verificação |
||
A |
\(99^\circ49'3''\) |
\(\mathrm{Az_{AB}}=19^\circ19'16''-180^\circ+99^\circ49'3''=-60^\circ51'41''=\color{blue}\mathbf{299^\circ8'19''}\) |
No que diz respeito ao cálculo dos rumos, já foi dito anteriormente que é preferível trabalhar com os ângulos de azimute devido a facilidade na computação das projeções dos alinhamentos. Todavia, o cálculo do rumo é realizado de maneira similar aos do azimutes. Devendo-se considerar o rumo anterior e o ângulo interno medido. Outra possibilidade para determinação do rumo, seria calcular o azimute e posteriormente converter para rumo.
Cálculo do azimute a partir da deflexão¶
Quando se trabalha com ângulos de deflexão, o azimute de um alinhamento é dado pelo azimute anterior mais ou menos, respectivamente, o ângulo de deflexão à direita (DD) ou à esquerda (DE) do alinhamento a ser calculado. Tal procedimento é apresentado no Exemplo 4, juntamente com o cálculo do erro de fechamento angular e sua compensação.
Exemplo 4 A poligonal aberta da Figura a seguir foi medida por meio das deflexões, sendo que os azimutes inicial e final, respectivamente, O1 e 5P, são conhecidos. Calcular o erro angular de fechamento e compensar os azimutes pelo método linear.
Solução: O erro angular de fechamento será determinado comparando o azimute final do alinhamento 5P calculado com o conhecido. As deflexões são apresentadas na coluna I. Os azimutes são calculados somando ou subtraindo do azimute anterior a deflexão à direita ou à esquerda, respectivamente (II). O primeiro azimute O1 que é conhecido não é calculado no início, só no final, para avaliação do erro angular. O erro encontrado, depois de calculados os azimutes com os ângulos de deflexões medidos, é de \(35''\) a mais no azimute final calculado (ver três últimas linhas da Tabela). Desta forma, a compensação linear a ser aplicada em cada deflexão é de \(-7''\), média do erro angular. Para evitar de se fazer novamente os cálculos dos azimutes com as deflexões compensadas, aplica-se diretamento nos azimutes calculados a compensação do erro médio acumulado (III). Observe que depois da compensação aplicada, o valor de azimute calculado do alinhamento final (5P) deve ser igual ao valor conhecido (IV).
Alin. |
(I) Deflexão medida |
(II) Cálculo do Az |
(III) Compensação |
(IV) Az comp |
|---|---|---|---|---|
\(O1\) |
\(\,\) |
Azimute conhecido \(20^\circ51'16''\) |
\(\,\) |
\(\,\) |
\(12\) |
\(123^\circ21'52''\,\text{(DD)}\) |
\(20^\circ51'16''+123^\circ21'52''=144^\circ13'8''\) |
\(-7''\cdot1=-7''\) |
\(144^\circ13'1''\) |
\(23\) |
\(71^\circ47'25''\,\text{(DE)}\) |
\(144^\circ13'8''-71^\circ47'25''=72^\circ25'43''\) |
\(-7''\cdot2=-14''\) |
\(72^\circ25'29''\) |
\(34\) |
\(49^\circ34'36''\,\text{(DD)}\) |
\(72^\circ25'43''+49^\circ34'36''= 122^\circ0'19''\) |
\(-7''\cdot3=-21''\) |
\(121^\circ59'58''\) |
\(45\) |
\(76^\circ38'42''\,\text{(DE)}\) |
\(122^\circ0'19''-76^\circ38'42''=45^\circ21'37''\) |
\(-7''\cdot4=-28''\) |
\(45^\circ21'9''\) |
\(5P\) |
\(99^\circ23'11''\,\text{(DD)}\) |
\(45^\circ21'37''+99^\circ23'11''=144^\circ44'48''\) |
\(-7''\cdot5=-35''\) |
\(\color{blue}\mathbf{144^\circ44'13''}\) |
\(\,\) |
\(\,\) |
\(\text{Az}_\mathrm{5P}\) calculado \(=144^\circ44'48''\) |
\(\,\) |
\(\,\) |
\(\,\) |
\(\,\) |
\(\text{Az}_\mathrm{5P}\) conhecido \(=\color{blue}\underline{\mathbf{-144^\circ44'13''}}\) |
\(\,\) |
\(\,\) |
\(\,\) |
\(\,\) |
\(\text{erro}=35''\) |
\(\,\) |
\(\,\) |
Cálculo do azimute a partir das coordenadas retangulares¶
A partir das coordenadas retangulares dos pontos de um alinhamento é possível calcular o seu azimute. Atualmente, com o auxílio do GNSS, ou a partir da rede do Sistema Geodésico Brasileiro, é comum começar o levantamento a partir de pontos de coordenadas UTM. Se o azimute for calculado das coordenadas UTM, os azimutes serão aqueles em relação ao norte da quadrícula. O cálculo do azimute é similar à conversão de coordenadas retangulares para polares (ver seção Coordenada retangular e polar no plano, todavia com a contagem dos ângulos no eixo-\(y\) (N), e o sentido da medição dos ângulos, o horário. Uma vez definido o azimute, o rumo pode ser determinado como apresentado na seção Conversão de azimutes em rumos.
Exemplo 5 Dadas as coordenadas UTM, levantados com receptor GNSS, dos pontos \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\), \(\mathrm{E}\) e \(\mathrm{F}\), calcular os azimutes e rumos dos alinhamentos \(\mathrm{AB}\) e \(\mathrm{EF}\).
\(\mathrm{A\,(E} = 485\,631\mathrm{~m;~N} = 7\,702\,079\mathrm{~m})\);
\(\mathrm{B\,(E}=485\,701\mathrm{~m;~N}=7\,701\,980\mathrm{~m})\);
\(\mathrm{E\,(E} = 485\,191\mathrm{~m;~N} = 7\,702\,043 \mathrm{~m})\);
\(\mathrm{F\,(E}= 485\,231\mathrm{~m;~N}= 7\,702\,148\mathrm{~m})\).
Solução:
Medidas de azimute em campo¶
No campo, conhecendo o azimute de um alinhamento, é possível determinar os azimutes de outros alinhamentos. Por exemplo, considere o azimute AB do Exemplo 5, de \({\mathrm{Az_{AB}}=142^\circ7'30''}\). Ele foi calculado de coordenadas UTM, obtidas por GNSS, logo o meridiano é o da quadrícula das coordenadas UTM. Suponha que temos que medir o azimute do alinhamento AC, conforme apresentado na Figura ao lado. A metodologia a ser seguida é, estacionar e nivelar o equipamento em A. Faz-se uma visada em B onde, via teclado, o ângulo horizontal de \(142^\circ7'30''\) é digitado para este ponto, caso se trabalhe com estação total. Desta forma, estabelecemos em campo o azimute de AB. Com teodolito, tal procedimento também é possível por meio dos parafusos que prendem e soltam o movimento do limbo ao equipamento. Uma vez que a sentido AB é estabelecida, quando rodando a luneta horizontalmente, o ângulo horizontal mostrar \(0^\circ00'00''\), teremos o sentido norte, neste caso, o norte da quadrícula. Para o nosso exemplo, que é o de medir o azimute AC, basta fazer uma visada precisa em C onde, o ângulo horizontal apresentado na tela da estação total corresponderá ao valor do azimute AC \((292^\circ50'2'')\).
Se o equipamento estiver nivelado e centralizado em B, pode-se fazer uma visada para A. Como o azimute AB é conhecido, então o seu azimute de ré, BA, também é, sendo igual a \(322^\circ7'30''~(142^\circ7'30''+180^\circ)\). Este valor é inserido para o ângulo horizontal. Mais uma vez, agora em B, quando o ângulo horizontal for \(0^\circ00'00''\), corresponderá a sentido do norte da quadrícula. Desta forma, as medidas de ângulo horizontal a partir de B corresponderão aos azimutes. Tal procedimento, de mudança de estação e medição dos azimutes a partir do anterior, pode ser realizada para se fazer o levantamento de uma poligonal qualquer. No caso dela ser fechada, como no exemplo da Figura 59, deve-se repetir a medida do alinhamento inicial, objetivando o calculo do erro angular de fechamento.
Declinação magnética¶
Parte dos levantamentos topográficos realizados no passado, utilizaram como referência do norte, aquela observada pelo norte da bússola, a qual denomina-se de norte magnético. A direção do norte-sul magnético pode ser definida pela direção longitudinal de uma agulha magnetizada livre, apoiada apenas no seu centro. A agulha será orientada de acordo com o campo magnético da terra, que tem variação temporal e espacial. Logo, se o topógrafo têm como objetivo aviventar para o presente os alinhamentos medidos no passado, em relação ao norte magnético, deverá encontrar, por exemplo, as direções em relação ao norte verdadeiro. Isto é possível através do conhecimento da declinação magnética nas diferentes datas.
A declinação magnética é o ângulo formado entre o norte geodésico e o norte magnético local. Quando o norte magnético se encontra à direita do norte geodésico, a declinação magnética é positiva e podemos abreviar pela letra “E” (este). Por outro lado, quando o norte magnético encontra-se à esquerda do norte geodésico, a declinação magnética é negativa, ou pode-se utilizar a letra “W” de west (oeste). Na Figura Representação gráfica da declinação magnética na região central do Brasil para o ano de 2000. temos a apresentação da declinação magnética de \(-19^\circ\) para o ano de 2000, em uma posição próxima a Brasília.
Figura 64 Representação gráfica da declinação magnética na região central do Brasil para o ano de 2000.¶
Exemplo 6 O azimute magnético do alinhamento AB é de \(230^\circ 23'\). Sabendo-se que a declinação magnética local é \(-21^\circ 9'\), calcular o azimute verdadeiro deste alinhamento.
Solução:
A variação temporal da declinação magnética, denomina-se de variação secular. Um exemplo da variação secular da declinação magnética, logo, também, da variação temporal do norte magnético, é apresentado na Figura 65. Os valores da declinação magnética são para a cidade do Rio de Janeiro, baseados na Referência do Campo Geomagnético Internacional (IGRF, International Geomagnetic Reference Field). Em 1590, a declinação magnética era de \(+13^\circ22'\). Com o passar dos anos, ela foi gradualmente se deslocando para a esquerda, sendo que em 1800 era de \(+5^\circ13'\), e em julho de 1853 era de \(0^\circ\). A declinação magnética continua se deslocando para a esquerda, em 2016 é de \(-22^\circ44'\). Note que, a forma da seta que apresenta a sentido da declinação magnética é representada de maneira distinta, quando está a este é desenhada apenas a ponta direita, enquanto se a oeste, a ponta esquerda. Esta nomenclatura é utilizada, por exemplo, nas cartas do IBGE.
Figura 65 Variação temporal da declinação magnética \((\delta)\) para o Município do Rio de Janeiro. Dados do modelo IGRF.¶
Linha isogônica se refere ao conjunto de pontos ligados por linhas onde a declinação magnética tem o mesmo valor em determinada época. Elas mostram a variação espacial da declinação magnética. Na Figura 66 são apresentadas linhas isogônicas para o Brasil, ano de 2000, segundo o IGRF. Neste ano a declinação magnética no Brasil variou de aproximadamente \(-23^\circ\) a \(-3^\circ\), costa leste e oeste do estado do Acre, respectivamente. A linha isogônica de \(0^\circ\), o norte geográfico igual a do norte magnético, é denominada de linha agônica.
Figura 66 Linhas isogônicas em 2000 para a região do Brasil segundo IGRF.¶
Uma linha isopórica consiste nos pontos de mesma variação anual da declinação magnética em determinada época. Ela apresenta a variação secular da declinação magnética. Na Figura 67 são apresentadas linhas isopóricas para o Brasil no ano de 2000. A unidade das linhas isopóricas são de minutos por ano. Quando uma linha isopórica é negativa, a declinação magnética está se movendo para oeste (W), e positiva para este (E). No ano de 2000, as maiores variações anuais da declinação magnética ocorre no oeste do Brasil, com uma variação próxima de \(-9'/\mathrm{ano}\). No nordeste se encontrava a linha isopórica de \(0'/\mathrm{ano}\), ou seja, a variação anual de declividade magnética foi zero.
Além da variação espacial e da variação secular da declinação magnética, pode-se citar:
a variação diária, é aquela em que ocorre ao longo de 24 horas. Ela é regular, ou seja, se repete a cada 24 horas. Ocorre devido à correntes elétricas na alta ionosfera (região acima dos 100 km) variar ao longo de 24 horas. A variação da declinação magnética ao longo de 24 horas é pequena, por exemplo, em Hartland, Reino Unido, verificou-se variação de aproximadamente \(9'\) (ver aqui). Já para os Estados Unidos, a variação é de aproximadamente \(8'\) ao longo de 24 horas [WG04];
a variação irregular, é uma variação imprevisível. Pode ocorrer devido ao distúrbio das tempestades solares ao campo magnético da terra; ou por efeito de proximidade de materiais metálicos ou de correntes elétricas locais, como àquelas que são geradas por fios de alta tensão. Embora imprevisível, as tempestades solares tem uma frequência de aproximadamente 11 anos. Segundo Wolf and Ghilani [WG04] estas perturbações na declinação magnética são pequenas, de cerca de um grau ou mais.
Por meio de interpolação das linhas isopóricas, pode-se encontrar a variação anual da declinação magnética para uma posição geográfica de interesse. O valor da variação encontrada, pode ser utilizada em conjunto com a declinação magnética local, para encontrar a declinação magnética em anos anteriores ou posteriores. Todavia, isto não se faz necessário atualmente, devido à disponibilidade na internet de dados de declinação magnética para diferentes posições geográficas e épocas.
Sobre declinação magnética.
Obtendo a declinação magnética
Clicando aqui você será encaminhado para o site da NOAA (Administração Nacional Oceânica e Atmosférica, National Oceanic and Atmospheric Administration), onde poderá consultar a declinação magnética para todo globo terrestre e para diferentes períodos, tendo os seguintes modelos disponíveis:
Figura 67 Linhas isopóricas em 2000 para a região segundo o IGRF.¶
Exemplo 7 Na página da NOAA é possível encontrar os valores da declinação magnética do modelo IGRF. Por meio dela, calcular a variação da declinação magnética para a cidade de Vitória, Espírito Santo \((\phi=-20^\circ19'10'',~\lambda=-40^\circ20'16'')\), entre o período de 1/Jan/1960 e 1/Jan/2014.
Solução:
Uma vez que um alinhamento teve a sua direção e sentido determinada com referência ao norte o magnético, o seu azimute ou rumo é dito como sendo magnético. Conhecendo o azimute ou rumo magnético de um alinhamento é possível, por meio da declinação magnético da época, encontrar seu azimute ou rumo verdadeiro. Considerando o sinal negativo para declinação oeste (W) e positiva para a declinação à leste (E), o azimute verdadeiro é dado pelo azimute magnético mais a declinação magnética da época do levantamento.
Muitas vezes no processo de aviventação (reproduzir na época atual a demarcação de um alinhamento já demarcado) de uma área levantada no passado, tem-se que encontrar novamente a direção dos respectivos alinhamentos em campo no presente. Se os alinhamentos tiveram suas direções obtidas com a referência do norte magnético, na época da aviventação, tem-se que fazer suas atualização, considerando a mudança da direção do norte magnético entre as duas épocas. Mais uma vez, tal procedimento é possível, por meio da aplicação da variação de declinação magnética entre as épocas aos azimutes ou rumos magnéticos medidos no passado (ver Exemplo a seguir).
Exemplo 8 Na região de Umuarama, PR, o alinhamento BC teve o seu azimute magnético medido de \(153^\circ41'30''\) em 10/12/1967. Qual é o azimute magnético deste alinhamento se você estivesse locando em campo este mesmo alinhamento em 4/5/2014?
Solução:
Ângulo vertical¶
O ângulo vertical é o ângulo medido no plano vertical. Quando a origem das medição do ângulo vertical for o zênite (direção contrária ao fio de prumo), o ângulo vertical é denominado de ângulo zenital \((z)\). Caso a origem seja o plano horizontal, o ângulo vertical é de inclinação \((\alpha)\) (Figura 68). Os ângulos verticais medidos de estações totais e teodolitos são utilizados, por exemplo, para calcular diferenças de nível e reduzir a distância inclinada para distância horizontal. A maior parte dos teodolitos utilizam o ângulo vertical do tipo zenital. De modo geral, as estações totais têm a opção de se trabalhar com ângulo vertical tipo zenital ou de inclinação.
Figura 68 Ângulo vertical zenital \((z)\) e de inclinação \((\alpha)\). As abreviações \(ai\) e \(ap\), correspondem, respectivamente, a altura do instrumento e a altura do prisma, necessárias para calcular a diferença de nível.¶
A variação do ângulo zenital é de \(0^\circ\) a \(360^\circ\). Se o ângulo zenital é de \(0^\circ\), a luneta se encontra na direção contrária a vertical do lugar, ou seja, na direção do zênite. Na medida em que a luneta, é inclinada na direção do horizonte, quando o ângulo for de \(90^\circ\), conterá o plano horizontal. Quando ela estiver na posição da vertical do lugar, direção do nadir, o ângulo será de \(180^\circ\). A luneta está na posição direta quando o ângulo zenital está entre \(0^\circ\) e \(180^\circ\). Quando o ângulo zenital for de \(270^\circ\) a luneta estará novamente no plano horizontal, até que, se novamente a luneta estiver no zênite, o ângulo vertical medido será de \(360^\circ\) ou \(0^\circ\). A posição inversa da luneta ocorre quando o ângulo zenital estiver entre \(180^\circ\) e \(360^\circ\).
Já o ângulo de inclinação tem variação de \(0^\circ\) a \(+90^\circ\) se a visada for ascendente e, de \(0^\circ\) a \(-90^\circ\) se a visada for descendente. A Tabela abaixo apresenta a relação entre o ângulo zenital, o de inclinação, o tipo de visada, se ascendente ou descendente, e a posição da luneta.
\(z\) |
\(\alpha\) |
Tipo de visada |
Posição da luneta |
|---|---|---|---|
\(0^\circ<z<90^\circ\) |
\(\alpha=90-z\) |
ascendente |
Direta |
\(90^\circ<z<180^\circ\) |
descendente |
||
\(180^\circ<z<270^\circ\) |
\(\alpha=z-270\) |
descendente |
Inversa |
\(270^\circ<z<360^\circ\) |
ascendente |
Medição do ângulo vertical¶
Para reduzir os erros causados pelas medições dos ângulos verticais, ao invés de se realizar apenas uma medida, sugere-se realizar pares de medidas, com a luneta na posição direta e inversa, calculando-se o valor médio das medidas. Tem-se que o ângulo zenital médio na direção direta \((\bar{z}_{d})\) é dado por:
em que: \(\Sigma z_d\) é o somatório das medidas de \(z\) na posição direta; \(\Sigma z_i\) é o somatório das medidas de \(z\) na posição indireta; \(n\) é o número de pares de medidas de \(z_d\) e \(z_i\).
Exemplo 9 Calcule o ângulo zenital médio a partir dos quatro pares de medidas de ângulo zenital, respectivamente, na posição direta e inversa da luneta:
\(111^\circ32'44''\) e \(248^\circ27'5''\);
\(111^\circ32'40''\) e \(248^\circ27'11''\);
\(111^\circ32'37''\) e \(248^\circ27'11''\) e;
\(111^\circ32'39''\) e \(248^\circ27'13''\).
Solução: Os dados podem ser organizados conforme a tabela abaixo. Nela são apresentados os somatórios dos ângulos zenitais nas posições direta e inversa.
Medida |
\(z_d\) |
\(z_i\) |
|---|---|---|
1 |
\(111^\circ32'44''\) |
\(248^\circ27'5''\) |
2 |
\(111^\circ32'40''\) |
\(248^\circ27'11''\) |
3 |
\(111^\circ32'37''\) |
\(248^\circ27'11''\) |
4 |
\(\underline{111^\circ32'39''}\) |
\(\underline{248^\circ27'13''}\) |
\(\,\) |
\(\Sigma z_d=446^\circ10'40''\) |
\(\Sigma z_i=993^\circ48'40''\) |
De acordo com a Equação (77):
Sugestão de aula prática
Medição de ângulos pelo método das direções
Objetivo: Medir em campo e calcular o ângulo horizontal pelo método das direções.
Procedimento: Em campo materializar três pontos consecutivos, A, B e C. Estacionar o equipamento em C, e realizar dois pares de medidas do ângulo horizontal ABC com a luneta na PD e PI. A caderneta de campo é o mesma apresentada na Figura 58.
Exercícios¶
1) Calcular o ângulo horizontal no ponto 2 pelo método das direções, dada as leituras de ré e vante, respectivamente, nos pontos 1 e 3, com a luneta na posição direta e inversa, conforme a Tabela na Figura 58.
estação |
posição luneta |
repetição |
PV |
Hz |
|---|---|---|---|---|
\(\,\) |
PD |
1 |
1 |
\(00^\circ 00' 00''\) |
\(\,\) |
\(\,\) |
\(\,\) |
3 |
\(45^\circ19'14''\) |
\(\,\) |
\(\,\) |
2 |
1 |
\(00^\circ 00' 00''\) |
\(\,\) |
\(\,\) |
\(\,\) |
3 |
\(45^\circ19'27''\) |
2 |
PI |
1 |
1 |
\(179^\circ59'57''\) |
\(\,\) |
\(\,\) |
\(\,\) |
3 |
\(225^\circ19'15''\) |
\(\,\) |
\(\,\) |
2 |
1 |
\(180^\circ 00'05''\) |
\(\,\) |
\(\,\) |
\(\,\) |
3 |
\(225^\circ19'25''\) |
Resp.: \(45^\circ19'19,7''\).
2) Dados os azimutes de vante: \(\mathrm{Az_{01}}=132^\circ43'6''\), \(\mathrm{Az_{12}}=265^\circ18'9''\), \(\mathrm{Az_{23}}=169^\circ36'4''\) e \(\mathrm{Az_{34}}=316^\circ21'34''\), calcule:
item os rumos de vante;
os rumos de ré e;
os azimutes de ré.
Resp.:
\(\mathrm{R_{01}}=47^\circ16'54''\,\text{SE}\), \(\mathrm{R_{12}}=85^\circ18'9''\,\text{SW}\), \(\mathrm{R_{23}}=10^\circ23'56''\,\text{SE}\) e \(\mathrm{R_{34}}=43^\circ38'26''\,\text{NW}\).
\(\mathrm{R_{10}}=47^\circ16'54''\,\text{NW}\), \(\mathrm{R_{21}}=85^\circ18'9''\,\text{NE}\), \(\mathrm{R_{32}}=10^\circ23'56''\,\text{NW}\) e \(\mathrm{R_{43}}=43^\circ38'26''\,\text{SE}\).
\(\mathrm{Az_{10}}=312^\circ43'6''\), \(\mathrm{Az_{21}}=85^\circ18'9''\), \(\mathrm{Az_{32}}=349^\circ36'4''\) e \(\mathrm{Az_{43}}=136^\circ21'34''\).
3) Dados os rumos de vante: \(\mathrm{R_{AB}}=54^\circ30'29''\,\text{SW}\), \(\mathrm{R_{BC}}=31^\circ2'50''\) NE, \(\mathrm{R_{CD}}=11^\circ3'41''\,\text{SE}\), e \(\mathrm{R_{DE}}=61^\circ21'34''\,\text{NW}\), calcule:
os rumos de ré;
os azimutes de vante e;
os azimutes de ré.
Resp.:
\(\mathrm{R_{BA}}=54^\circ30'29''\,\text{NE}\), \(\mathrm{R_{CB}}=31^\circ2'50''\,\text{SW}\), \(\mathrm{R_{DC}}=11^\circ3'41''\,\text{NW}\) e \(\mathrm{R_{ED}}=61^\circ21'34''\,\text{SE}\).
\(\mathrm{Az_{AB}}=234^\circ30'29''\), \(\mathrm{Az_{BC}}=31^\circ2'50''\), \(\mathrm{Az_{CD}}=168^\circ56'19''\) e \(\mathrm{Az_{EF}}=298^\circ38'26''\).
\(\mathrm{Az_{BA}}= 54^\circ30'29''\), \(\mathrm{Az_{CB}}=211^\circ2'50''\), \(\mathrm{Az_{DC}}=348^\circ56'19''\) e \(\mathrm{Az_{FE}}=118^\circ38'26''\).
4) Calcular o azimute CD sabendo que: o azimute AB é \(47^\circ21'2''\); ângulos medidos à direita \(\mathrm{ABC}=141^\circ1'54''\) e \(\mathrm{BCD}=85^\circ36'10''\).
Resp.: \(\mathrm{Az_{CD}}= 273^\circ59'6''\).
5) Calcular o azimute 34 sabendo que: o azimute 12 é \(242^\circ55'22''\); ângulos medidos à direita \(123=65^\circ12'13''\) e \(234=125^\circ6'40''\).
Resp.: \(\mathrm{Az_{34}}= 73^\circ14'15''\).
6) O alinhamento AB é de controle, sendo suas coordenadas retangulares, em metros, de \(\mathrm{A}(559,432; 765,231)\) e de \(\mathrm{B}(612,019; 791,692)\). Determine o azimute AB.
Resp.: \(\mathrm{Az_{AB}}=63^\circ17'20,9''\).
7) Calcular o azimute do alinhamento OP, cuja as coordenadas são \(\mathrm{O}(975,796; 419,790)\) e \(\mathrm{P}(801,218; 152,865)\).
Resp.: \(\mathrm{Az_{OP}}=213^\circ11'9,8''\).
8) A soma dos ângulos internos medidos de uma poligonal de 9 lados é de \(1\,259^\circ 59' 24''\). Determine qual o erro angular de fechamento e a compensação a ser aplicada em cada ângulo medido, a fim de tornar a poligonal com erro angular igual a zero.
Resp.: o erro angular de fechamento é de \(-36''\). Será aplicado \(+4''\) em cada ângulo interno medido.
9) Na Tabela abaixo são apresentados os ângulos internos à direita medidos da poligonal fechada \(\mathrm{ABCD}\). Calcule o erro angular de fechamento. Compense pelo método linear e calcule os azimutes dos alinhamentos \(\mathrm{BC}\), \(\mathrm{CD}\) e \(\mathrm{DA}\).
Alin |
Azimute |
\(\sphericalangle\) à direita |
|---|---|---|
\(AB\) |
\(186^\circ9'33''\) |
\(\mathrm{{A}}=128^\circ 4' 2''\) |
\(BC\) |
\(\,\) |
\(\mathrm{{B}}= 68^\circ57'34''\) |
\(CD\) |
\(\,\) |
\(\mathrm{{C}}=113^\circ41'32''\) |
\(DA\) |
\(\,\) |
\(\mathrm{{D}}= 49^\circ17'32''\) |
Resp.: o erro angular de fechamento é de \(40''\). Os azimutes compensados: \(\mathrm{Az_{BC}}=75^\circ6'57''\), \(\mathrm{Az_{CD}}= 8^\circ48'19''\) e \(\mathrm{Az_{DA}}=238^\circ 5'41''\).
10) No levantamento apresentado abaixo, poligonal aberta e apoiada, foram medidos os ângulos de deflexão: \(\mathrm{DD_{BC}}=132^\circ43'6''\), \(\mathrm{DE_{CD}}=65^\circ18'9''\), \(\mathrm{DD_{DE}}=69^\circ36'4''\), \(\mathrm{DE_{EF}}=66^\circ21'34''\), \(\mathrm{DE_{FG}}=106^\circ10'11''\). Os azimutes de controle de saída e chegada foram de \(\mathrm{Az_{AB}}=63^\circ52'8''\) e \(\mathrm{Az_{FG}}=28^\circ22'9''\). Determinar:
o erro angular de fechamento;
os azimutes considerando a compensação do erro angular de fechamento.
Resp.: o erro angular de fechamento é de \(45''\). Os azimutes compensados: \({\mathrm{Az_{BC}}=196^\circ35'23''}\), \(\mathrm{Az_{CD}}=131^\circ17'23''\), \(\mathrm{Az_{DE}}=200^\circ53'36''\) e \(\mathrm{Az_{EF}}=134^\circ32'11''\).
11) Converta em azimutes e rumos verdadeiros os seguintes azimutes magnéticos com suas respectivas declinações magnéticas \((\delta)\):
\(6^\circ35'30'',~\delta=10^\circ5'\mathrm{W}\);
\(28^\circ3'40'',~\delta=22^\circ32'\mathrm{W}\);
\(228^\circ43'20'',~\delta=5^\circ52'\mathrm{E}\);
Resp.:
\(\mathrm{Az_{verda}}=356^\circ30'30''\) e \(\mathrm{R_{verda}}=3^\circ29'30''\) NW;
\(\mathrm{Az_{verda}}=5^\circ31'40''\) e \(\mathrm{R_{verda}}=5^\circ31'40''\) NE;
\(\mathrm{Az_{verda}}=234^\circ35'20''\) e \(\mathrm{R_{verda}}=54^\circ35'20''\) SW.
12) Pesquisar na página da NOAA a declinação magnética para a Cidade de Campina Grande \((\phi=-7^\circ13'50'',~\lambda=-35^\circ51'52'';~\mathrm{altitude}=551~\mathrm{m})\), PB, para a data de 28/jan/1996, modelo IGRF.
Resp.: \(\delta=-22,33^\circ\).
13) Calcular a declinação magnética e a variação sua variação (modelo IGRF) para o município de Piracicaba, São Paulo \((\phi=-22^\circ43'31'',~\lambda=-47^\circ38'57'')\), entre o período 1/Jul/1950 e 15/Ago/2010.
Resp.: Em 1/Jul/1950 e 15/Ago/2010 a declinação magnética foi de, respectivamente, \(-11,87^\circ\) e \(-20,11^\circ\), logo a variação é de \(8,24^\circ\) W.
14) O ângulo zenital na posição direta é de \(74^\circ2'48''\). Qual seria o ângulo equivalente se a luneta estivesse na posição inversa.
Resp.: \(z_d=285^\circ57'12''\).
15) Foram medidos dois pares de ângulo zenital, na posição direta e inversa da luneta, resultando nas seguintes leituras: na posição direta \(87^\circ9'37''\) e \(87^\circ9'43''\) e, na posição inversa \(272^\circ50'27''\) e \(272^\circ50'21''\). Calcular o ângulo zenital médio na posição direta da luneta \((\bar{z}_{d})\).
Resp.: \(\bar{z}_{d}=87^\circ9'38''\).
16) Repetir o exercício 15 considerando os seguintes valores de ângulos zenitais: na posição direta \(95^\circ49'14''\) e \(95^\circ49'18''\) e, na posição inversa \(264^\circ10'40''\) e \(264^\circ10'36''\).
Resp.: \(\bar{z}_{d}=95^\circ49'19''\).